互对应的.
时域分析 经 零典 输法 入： 响齐 应次 零 解 状 特 态解 响应 变换域分析:z变换法
例: 若描述某离散系统的差分方程为
y ( k ) 3 y ( k - 1 ) 2 y ( k - 2 ) f( k )
已知初始条件 y(0)0,y(1)2, 激励 f (k ) 2 k ( k ) 求 y(k ). 解:将差分方程中除 y ( k )以外的各项都移到等号右端.得 :
Aej
CjD
Ar1kr1 kcos( kr1)Ar2kr2 k cos(kr2)...A0kcos(k0)
2. 特解
激励 f ( k )
特解 y p ( k )
km
PmkmPm1km1...P1kP0
所有特征根均不等于1时;
krPmkmPm1km1...P1kP0 当有r重等于1的特征根时.
y(4)3y(3)2y(2)f(4)10 此方法我们称之为迭代法。
二、差分方程的经典解
y(k)=yh(k)+yp(k)
特解 1. 齐次解
齐次方程: y ( k ) + a n - 1 y ( k -1 ) + ......+ a 0 y ( k -n ) = 0
特征方程: n a n 1n -1 ... a 1 a 0 0
( 2 ) 将 序 列 f 2 ( i ) 沿 正 i 轴 平 移 k 个 单 位 , 成 为 f 2 ( k i )
(3) 求 乘 积 f1(k)f2(ki) (4) 按 公 式 求 各 乘 积 之 和
例 : 有 两 个 序 列
k+1, k=0,1,2 f1(k)0, 其余
1, k=0,1,2,3
..f.2
.(.5.
..
i
.
)
i
.
. .f 1 ( i ) ..
..f2(..6 ..i) ..i
i
二. 卷积和的性质
交 换 律 f 1 ( k ) f2 ( k ) f2 ( k ) f 1 ( k ) 结 合 律 f 1 ( k ) [ f 2 ( k ) f 3 ( k ) ] [ f 1 ( k ) f 2 ( k ) ] f 3 ( k )
初始条件
系数 C 1 , C 2
例： 求下列差分方程的完全解
y ( k ) 2 y ( k 1 ) x ( k ) x ( k 1 )
其中激励函数 x(k) k 2,且已知y(-1)=-1
解:
20
特征方程齐次通解
2 C (2)k
将 x ( k ) 代入方程右端,得:
x(k) x(k 1) k 2 (k 1)2 2k 1
2
Qk0
f1(k)*f3(k) 1 2 k(k)*(k)2 1 1 2 k 1 (k)
二. 卷积和的图示
用 作 图 法 计 算 f 1 ( k ) * f 2 ( k ) 的 步 骤 为 :
(1) 将 序 列 f1 (k)f2(k)的 自 变 量 用 i代 换 ,然 后 将 序 列 f2(i)以 纵 坐 标 为 轴 反 转 ,成 为 f2( i)
自 由 响 应
零 输 入 响 应
零 状 态 响 应
两种分解方式有明显的区别.虽然自由响应与零输入响应
都的是初齐 始次状解态的决形定式,而,但C 它i 是们由的初系始数状并态不和相激同励,C共x同i 仅决由定系.统
例: 若描述某离散系统的差分方程为
y (k )+ 3 y (k -1 )+ 2 y (k -2 )= f(k )
将初始值代入上式,得
y1 3
1
yf
(1)
1Cf
1
2Cf
2
2 3
1
解得
C
f1
1 3
C f 2 1
零状态响应: yf(k)1 3( 1 )k( 2 )k1 3(2 )k,k0
系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和:
y(k)yx(k)yf(k)(114)零 4k输 2入 2响 4(应 423)k1134(41)4k4(224)k4413(423)k
已知激励初始状态求系统的零输入响应,零状态响应 和全响应. 解: (1) 零输入响应 根据定义,零输入响应满足方程:0
其初始状态
y x ( k ) 3 y x ( k 1 ) 2 y x ( k 2 ) 0
yx( 1 )y( 1 )0,yx 2y 21 2
yx(0)3yx(1)2yx21
yx13yx02yx13
求解方法:
1. 求解差分方程法 2. z变换法
例: 求图所示离散系统的单位序列响应y(k)
y(k)
f(k)
D
1
1.求初始值
y(k-1)
D
2
y(k-2)
y ( k ) y ( k 1 ) 2 y ( k 2 ) f( k )
h(k)h(k1)2h(k2)(k)
h(1)h(2)0
h(0)h(1)2h(2)(0)1
h(1)h(0)2h(1)(1)1
令 k 0 ,1 ( (0 ) 1 (1 ) 0 )
求: h ( k )
h (k ) h (k 1 ) 2 h (k 2 ) 0
特征方程: 2 2 ( 1 ) 2 0
得方程齐次解:
h(k)C 1( 1 )kC 2(2)k
代入初始值:
h(0) C1 C2 1
f1(k)*f2(k)i012i 1112 2
i 0时, (i) 0 i 0时, (i) 1
(2) f1(k)*f3(k)i 1 2i(i)(ki)
Q i 0 时 , ( i ) 0 k i 0 时 ( k i ) 0
f1(k)*f3(k)i 012i 11121k12112k1
h (k ) g (k ) g (k ) g k 1
§3.3 卷 积 和
一. 卷积和
若有两个序列 f1(k)和f1(k)*,和式
f (k) f (i)(ki) i
称为 f1(k)和f1(k) 的卷积和.常用符号”*”表示,即:
f(k)f1(k)*f2(k) f1(i)f2(ki)
如果f1(k)为因果序列，即若f1(k)=0, k＜0, 则
f1(k)f2(k) f1(i)f2(ki)
i0
如果f1(k)不受限制，而f 2 ( k ) 为因果序列,即i＞k时, f2(k-i)=0,则
k
f1(k)f2(k) f1(i)f2(ki)
i
如果f1(k)和f2(k)均为因果序列，即 f1(k)f2(k)0,k<0则
k
f1(k)f2(k) f1(i)f2(ki)
特征根
齐次解
系数
不同特征根对应的齐次解:
特征根
单实根
r 重实根
一对共轭复根
1,2ajbej
R重共轭复根
齐次解 y h ( k )
Cr1kr1 k Cr1kr2 k LC1kk C0k
C r 1 k r 1k C r 2 k r 2k .... C 1 K k C 0k
pk[ccosk Dsink] 其 或Apk cos(k) 中
y ( k ) - 3 y ( k - 1 ) - 2 y ( k - 2 ) f( k )
对于k=2,将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式,得:
y ( 2 ) - 3 y ( 1 )-2 y ( 0 ) f( 2 ) -2
类似的,依次迭代可得
y(3)3y(2)2y(1)f(3)10
Pak
当a不等于特征根时
ak
P1kak P0ak
当a是特征单根时
Prkrak Pr1kr1ak ...P1kak P0ak 当a是r重特征根时
cos(k)或 sin(k)
Pcos(k)Qsin(k)
当所用的特征根均不等于
或 Acos(k),其 中 AejPjQ
e
j
激励 f ( k )
特解
原方程
3. 全解:
山东科技大学精品课程
信号与系统
Signals&Systems
主讲人：郭银景
第三章 离散系统的时域分析
目录 ▪ 3.1 LTI离散系统的响应 ▪ 3.2 单位序列和零状态响应 ▪ 3.3 卷积和
§3.1 LTI离散系统的响应
一、 差分与差分方程 连续系统可用微分方程来描述,离散系统可用差分方
程描述. 差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相
设特解为 DkD形式，代入方程得
1
2
x(k) x(k 1) k2 (k 1)2 2k 1
比较两边系数
33DD12
2 2D
1
1
21
解得
D1 3 , D2 9
完全解为 Y(-1)= -1
得c 8 9
y(k)c(2)k2k1
39
1c(2)12(1)1
3
9
y(k)8(2)k2k1
9
39
三、零输入响应和零状态响应
h(1) C1 2C2 1
1 C1 3
C1
得系统的单位序列响应:
2 3
h(k)1 3(1)k3 2(2)k(k)
1 1 2 2
2. 阶跃响应 阶跃响应的定义为: 当LTI系统的激励位单位阶跃序列时,系统的零状态响应
称为单位阶跃响应或阶跃响应,用g ( k ) 表示. h(k)和 g(k)的 关 系 :
. (k i)
. . . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 … i k
(k i) d e f
1, k i
0
,
k
i
2 单位序列(函数)性质为:
比 例 性 c(n),c(nj) 抽 样 性 f(n)(n)f(0)(n)