§.量子力学的矩阵表示
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§４.2量子力学的矩阵表示
一、态的表示
二、算符的表示
三、量子力学公式的矩阵表示
用力学量完全集 的正交、归一和完备的本征态矢量的集合 作基底的表象,称为 表象。
4.算符在坐标和动量表象上的表示
（1）在坐标表象上的表示
例如Ｈａmiltoｎ量表示为
注意，式中的 函数代表“矩阵”是对角的,只在积分运算中起作用。
上述动量的表示可作如下理解
将上式中的被积函数 写成
则原式为
即
为什么被积函数不写成 的形式呢？这完全是为了符合基本假定 ．
为导出算符 在坐标表象上的表示,首先把 按 和 作展开。如果二元函数 在 附近可作展开
为书写简便,用 代表 ，用 代表 ，用 代表本征值谱 .把 表象简称为 表象。以分立谱为例
本征方程:
基底：
正交归一化：
封闭关系:
一、态的表示
态 在 表象上的表示为一个列矩阵
矩阵元 代表态 在基底 上的投影,或称为展开系数。它可在坐标表象上计算
态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到
其中
, .
这是因为
若 ，则称态 和 正交。而 则是指态 是归一化的。
矩阵 是算符 在 表象上的表示
矩阵元为
可以在坐标表象上计算。下面会看到,在坐标表象上矩阵元 的计算公式为
式中 .
【例】用包括Hamiｌton量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象,称为能量表象。在一维谐振子的能量表象上，计算坐标 ，动量 和 本身的表示矩阵。
利用矩阵元公式
得坐标 ，动量 和 的表示矩阵
基底 在自身表象上的表示为
第 行
基底的正交归一化写成 ．
态向基底的展开写成
展开系数
.
对于连续谱情况
本征方程：
基底：
正交归格化：
封闭关系:
态 在 表象上的表示矩阵成为本征值 的函数
态 和 的内积为
因为
归一化条件为
.
而基底 在自身表象上表示为
.
二、算符的表示
1．算符用矩阵表示
算符是通过对态的作用定义的。因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。
久期方程为
解得能量本征值 ， 和 ，分别代入本征方程并利用归一化条件可得到相应本征波函数
， ，
， ,
， ，
则算符 可展开为
然后计算矩阵元，即可得到
.
【例】证明坐标表象上矩阵元 的计算公式为
其中 .
证明:
【例】证明
证明：
要证明的第二式是第一式的复数共轭。
（2）动量表象
例如在动量表象上Ｈamｉｌtｏn量表示为
．
【例】一维谐振子能量本征方程的动量表象形式为
.
证明：
其中
代入后积分,即证。
【例】设质量为 的粒子处于势场 中, 为非零常数。求与能量 对应的本征波函数。
２.在自身表象上力学量算符的表示
因此，求解力学量的本征值问题,可以通过选择合适的基底，使这一力学量算符的表示矩阵成为对角矩阵。对角元素就是待求的本征值,而所用的基底就是待求的本征态。
3．Hermite共轭矩阵和Hｅrmite矩阵
(1)Hermite共轭矩阵
矩阵 的Ｈeｒmite共轭矩阵 定义为：将 转置且矩阵元取复共轭
解.
3．本征方程的矩阵形式
有非零解的条件称为“久期方程”
这是一个 次幂代数方程， 为表象空间的维数。求解久期方程可得 个实根,构成本征值谱
把 代回本征方程可得相应本征态
,
若有重根，则出现简并。
【例】已知在正交归一化基底 所张开的三维空间中,体系能量算符 的表示矩阵为
求能量的本征值和本征态。
解．在以 为基底的表象上, 的本征方程为
解.显然无束缚态解。本征方程坐标表象形式为
而动量表象形式为
比坐标表象形式容易求解。
通过Fourie变换可得本征态的坐标表象表示
.
【思考】证明
三、量子力学公式的矩阵表示
下面列出量子力学重要公式在 表象上的矩阵形式。
1．薛定谔方程的矩阵形式
其中
，
，
证明：
，பைடு நூலகம்
2.力学量平均值公式的矩阵形式
,
证明：
【例】在自身表象上，写出力学量 在态 上的平均值。
.
例如
, .
若算符 的表示矩阵为 ,则Hermiｔe共轭算符 的表示矩阵必为 的Hｅrmite共轭矩阵 ．
证明：
即 , .
（2)Hｅrmitｅ矩阵
若 ，则称 为Herｍiｔe矩阵。
若 为Hｅrmitｅ矩阵，则
(对角元)
例如， 的Herｍｉte矩阵一定取下面形式
其中 和 为实数。
Heｒｍiｔe算符的表示矩阵必为Hermｉte矩阵。