厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期《线性代数》复习题B一、选择题（每小题3分，共18分）1．设行列式 111222333a b c a b c d a b c =，则111111222222333333223223223c b c a b c c b c a b c c b c a b c ++++++=+++（ ）。

A ．2d -； B ．d -； C ．d ； D ．2d 。

2．已知A 为n 阶非零方阵，E 为n 阶单位矩阵，若3A O =，则（ ）。

A ．A E +不可逆，E A -不可逆；B ．A E -不可逆，A E +可逆；C ．A E +可逆，E A -可逆；D ．AE +不可逆，E A -可逆。

3．向量1α，2α，3α线性无关，则下列向量组线性相关的是（ ）。

A ．12αα+，23αα+，31αα+； B ．1α，12αα+，123ααα++； C ．12αα-，23αα-，31αα-； D ．12αα+，232αα+，313αα+。

4．若3阶方阵2E A -及E A +，3A E -都不可逆，则A 的特征多项式中常数项为（ ）。

A ．23； B ．2 ； C ．23-； D ．43。

5．下列命题错误的是（ ）。

A ．相似矩阵有相同的特征多项式； B ．1n +个n 维向量必线性相关；C ．矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1T QQ -=；D ．若矩阵A 的秩是r ，并且存在1r -阶子式，则其所有的1r -阶子式全为0。

6．下列命题正确的是（ ）。

A ．若A ，B 为同阶方阵，且TA A =，则TB AB 也是对称阵； B ．若AX AY =，且A O ≠，其中O 为零矩阵，则X Y =；C ．齐次线性方程组AX O =（A 是m n ⨯矩阵）有唯一解的充分必要条件是()r A m =；D ．设非齐次线性方程组AX b =有无穷多解，则相应的齐次线性方程组AX O =有唯一解。

二、填空题(每小题3分,共18分)7．设44⨯矩阵123(,,,)A αγγγ=，123(,,,)B βγγγ=，其中α，β，1γ，2γ，3γ均为四维列向量，且已知行列式||4A =，||1B =，则行列式||A B += 。

8．若12224379A t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，当t =_______时，()2r A =。

9．1(2103)kk α=-与2(531)k k α=-+正交，则k = 。

10．已知3阶矩阵A 的特征值为1，1-，2，则矩阵2B A E =+（E 为三阶单位矩阵）的特征值为 。

11．设A 为可逆矩阵，且123246369AB ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()r B = 。

12．若A ，B 均可逆，A O D C B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则D 可逆，且1D -= 。

三、计算题(共64分)13．行列式计算（10分）求行列式12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，n D 是n 阶行列式，主对角线上的元素为1i a +，其余元素为1。

14．求解矩阵方程（10分）设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，2AB A B =+，求B 。

15．线性方程组的计算（12分）设有线性方程组123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩，问λ取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。

16．向量组计算（10分）已知向量组1(1212)Tα=，2(1031)T α=，3(2101)T α=-，4(2122)T α=-，5(2243)T α=，试求1α，2α，3α，4α，5α的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。

17．设二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>可通过正交变换化成标准型22212325f y y y =++，求参数a 及使用的正交变换（20分） 说明：（1）先将二次型表示成矩阵形式（2分）；（2）求出a 的值（5分）；（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换（4分）。

请按上述五步顺利给出解题过程。

一、选择题（每小题3分，共18分）1．B 。

解：由行列式的性质可知111111111111222222222222333333333333223223223c b c a b c c b a a b c c b c a b c c b a a b c d c b c a b c c b a a b c ++++++==-=-+++。

2．C 。

解：由于23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=，因此E A +，E A -均可逆，故选C 。

3．C ．解：显然有1223311()1()1()0αααααα-+-+-=，所以12αα-，23αα-，31αα-线性相关，故选C 。

4．A 。

解：根据定理5.1知，设0λ是A 的特征值，则必有0||0E A λ-=，于是0E A λ-不可逆，又2E A -及E A +，3A E -都不可逆，那么2E A -，E A --，13E A -不可逆，知A 的特征值为2，1-，13，而A 的特征多项式中常数项的值等于2||3A -=。

5．D 。

解：A ．正确，相似矩阵有相同的特征多项式（§5.2性质5）。

B ．正确，1n +个n 维向量必线性相关（定理2.5 ）。

C ．正确，矩阵Q 是n 阶正交矩阵的充分必要条件是1T QQ -=，这是正交矩阵的定义。

D ．错误，矩阵A 的秩是r ，若其所有的1r -阶子式全为0，则A 的任何r 阶子式都为0，这与矩阵的秩为r 矛盾（注意矩阵A 的秩是r ，说明其存在一个r 阶非零子式）。

6．A 。

解：A ．正确，若A ，B 为同阶方阵，且TA A =，则()()T T T TT T T B A B B A B B A B==，则TB AB 也是对称矩阵。

B ．错误，反例：0102010300000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，记0100A O ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，但0200X ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭0300Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

注意矩阵乘法不满足消去律，当AX AY =，只有A 可逆时，才有X Y =。

C ．错误，齐次线性方程AX O =（A 是m n ⨯矩阵）有唯一解的充分必要条件是()r A n =。

D ．错误，非齐次线性方程组AX b =有无穷多解，则A 的秩小于A 的列秩，即A 的秩小于方程未知数的个数，是相应的齐次线性方程组AX O =有无穷多解的充要条件。

二、填空题(每小题3分,共18分)7．解：3123123123|||,2,2||,2,2,2||,2,2,2|2(||||)40A B A B αβγγγαγγγβγγγ+=+=+=+=，2。

8．解：1221221222436900336924004A t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()2r A =，故4t =。

9．因为1α，2α正交，所以12103(1)3(1)0Tk k k αα=--++=，则35k =-。

10．解：由1|||2||(1)2|8||02E B E A E E A E A λλλλ--=--=--=-=，可知12λ-是A 的特征值，于是由A 的特征值1，1-，2可知B 的特征值λ为3，1-，5。

11．解：A 为可逆矩阵，则A 可写成一系列初等矩阵的乘积，AB 由B 左乘A 得到，相当于可通过初等行变换把B 变成AB ，由于初等变换不改变矩阵的秩，故()()r B r AB =，而()1r AB =，所以()()1r B r AB ==。

12．解：由||||||D A B =且A 、B 可逆可知，D 可逆，设矩阵X Y Z W ⎛⎫⎪⎝⎭，使得AO X Y E O C B Z W O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即AX AY E O CX BZ CY BW O E ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，则AX E =，故1X A -=；AY O =，则Y O =；CX BZ O +=，故B Z C X =-，11Z B CA --=-；CY BW E +=，则BW E =，故1W B -=所以11111A O D B CAB -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

三、计算题(共64分)13．解：121212121212111(1)111(1)111(1)n n nn n n na a a a a a a a a a a a D a a a a a a ++=+12121212111111111111n n nna a a a a a a a a a a a ++=+（将各列分别加到第1列得）1212121211111111111111ni i n ni i n nni in a a a a a a a a a a a a ===+++=++∑∑∑22121211111111(1)1111n nnn i ina a a a a a a a a a =+=++∑再将第一行乘以1-分别加到其余各行，得21212111111110(1)(1)01nnnn n n i i iia a D a a a a a a a a ===+=+∑∑14．解：由2AB A B =+，可得(2)A E B A -=。

由于03310023321102010110123001121A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而233211020121A E --=-=≠-，所以2A E -可逆，则1(2)B A E A -=-。

()2330332,110110121123A E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭～233033110110011033-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭～100033010123001110⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭因此1033(2)123110B A E A -⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭。

15．解：对增广矩阵(,)B A b =作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有2221254225420111245100(1)(10)(1)(4)B λλλλλλλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=----- ⎪⎪ ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭。

（1）当1λ≠且10λ≠时，()()3r A r B ==，方程组有唯一解。