2011年下学期数学院研究生《泛函分析》复习与练习4
1、证明 1()l l ∞'=。
（第八章：P229，例题1）
2、设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子，若T 的零空间是闭集，
T 是否一定有界？
（第八章：P236，#6）
解：令[]0,1X Y ϑ==，其中[]0,1ϑ是[]0,1上多项式函数全体，视为C []0,1的子空间
T 是X 到Y 的微分算子。
若0Tf =，则f 是常值函数。
显然常值函数全体是闭子集，但T
是非有界的。
（见教材底一节例九）
3、证明：A 是实内积空间X 上的自伴算子时，0A =的充要条件是对所有x X ∈，成立(),0Ax x =。
（第九章：P266，#16）
证明：0A =时。
显然结论成立。
反之，对任意,x y X ∈，令V=ax+y ； （AV ，V ）=（A （ax+y ），ax+y ） =2a(Ax,y)=0
由y 的任意性，取Ax=y,则Ax=0；
由x 的任意性知，A=0
（这是参考教材P261，引理1做的）
4、设X 是实内积空间，若222
x y x y +=+，则x y ⊥，当X 是复内积空间时，这个结论是否依然成立？ （第九章：P265，#4）
解
当
X
是实内积空间且
222
x y x y
+=+时，由
()2
2
2
,2,x y x y x y x y x y ++=
+=++得,0x y =即x y ⊥
在复内积空间上此结论不成立 ，例如0,x y ix ≠=，1x =
()2
,x y
x ix x ix +=++2222
,,x y i x x i x x x y =++-=+
但(),,x y x ix i ==-0≠
5、证明：(1)p l p >中点列()()
12{,,}n n n x ξξ=，1,2,
n =。
弱收敛于
12{,,}p x l ξξ=∈的充要条件为sup n n
x <∞，且对每个k ，()lim n k k n ξξ→∞
=。
（第十章：P296，#16）
证明 充分性。
设n x M ≤，1,2,n =。
对任一q f l ∈，设12(,,)f ηη=。
对任
意0ε>，确定0k ，使 01
2()q
q
k
k k M x ε
η∞
=+⎛⎫< ⎪ ⎪
+⎝⎭
∑。
然后确定 N ，使n>N 时，有
()1
2
k n k k k k ε
ξξη=-<
∑，
这样，
()
01
()()()n n k k k k f x f x ξ
ξη∞
=-=
-∑
00()()1
1
1
k n n k k k k k
k k k k k k k ξ
ξηξηξη∞
∞
==+=+≤
-+
+
∑∑
∑
0000
111
1
()
1
1
1
1(
)(
)(
)(
)2
p
q p
q n p
q
p q k
k k k k k k k k k k k ε
ξ
ηξη∞
∞
∞
∞
=+=+=+=+≤
++∑
∑
∑
∑
01
1
()()2
q q
k k k M x ε
η∞
=+≤++∑
2
2
ε
ε
ε≤
+
=
因此{}n x 弱收敛于x 。
必要性。
若{}n x 弱收敛于x ，则由一致收敛定理，sup n n
x <∞。
对任一k ，令
()(0,
,0,1,0,)k f x =，其中1在第k 个位置，则q k f l ∈，且()()k n k f x f x →，因
()(),()n k n k k k f x f x ξξ==，所以()()n k k ξξ→，()n →∞。
证 6、设A 及B 是定义在Hilbert 空间X 上的两个线性算子，满足，
,,Ax y x By =
其中,x y 为X 中任意向量，证明A 是有界算子。
（第十章：P296，#20）
证明 设0lim n
n x x →∞
=，0lim n n Ax y →∞
=，则对任意y X
∈，有
0,lim ,lim ,n n n n y y Ax y x By →∞
→∞
<>=<>=<>
00,,x By Ax y ==<>
因此00,0y Ax y <
->=对任何y X
∈都成立，此说明
00y Ax =。
这样A 是
定义在全空间X 上的闭算子，由闭图像定理，A 有界。
证毕。
7、设F 是n 维欧几里得空间n R 的有界闭集，A 是F 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何F y x ∈,)(y x ≠，有),(),(y x d Ay Ax d <。
证明映射A 在F 中存在唯一的不动点。
（第七章：P216，#17）
证明 ： 定义F 上的函数
f （x ）=d （Ax ，x ）。
由于
),(2),(),(|),(),(||)()(|y x d y x d Ay Ax d y Ay d x Ax d y f x f <+≤-=-因此f 是F 上的连续映射，因F 是有界闭集，必有F x ∈0，使)(min )(00x f x Ff x F
x ∈=∈。
我们先证明0)(0=x f ，若0)(0≠x f ，则00x Ax ≠。
记01Ax x =，则021x A Ax =，于是)(),(),(),()(000002111x f x Ax d Ax x A d x Ax d x f =<==
此与)(0x f 是f 的最小值矛盾。
故0),(00=x Ax d 即0Ax =0x
若1x 是A 的另一个不动点，则),(),(),(101010x x d Ax Ax d x x d <=，矛盾
8、设A 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，*A 为A 的共轭算子，证明
(*){()}()A A A σλλσ=∈=。
（第十一章:P319,#9）
证明 先证若T 是Hilbert 空间H 上的有界线性算子，若T 可逆，则T*也可逆，且
11(*)()*T T --=。
事实上，对任意,x y H ∈，11
,,,()**x y TT x y x T T y --<>=<>=<>。
这样1
,()**0x y T T y -<->=对任意x H ∈成立，因此1()**y T T y
-=恒成立，进而1*()*T T I -=。
同理1*()*T T I -=。
这一证明了T*也可逆，且11()*(*)T T --=。
现在设()A λσ∈，则A I λ-可逆，因此()**A I A I λλ-=-也可逆，从而(*)A λσ∈。
同理若(*)A λσ∈，则()A λσ∈，这就证明了(*){()}A A σλλσ=∈。
证毕。