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概率论与数理统计
主讲人：黄启蒙
§2.1 离散型随机变量的概率分布
一、随机变量的定义
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一 个ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意：
1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。
2. 因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率， 所以随机变量X的取值也有一定的概率。
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（4）汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置是
在[0, 2r]上取值的随机变量，其中r 是轮胎的半径．
随机变量按其可能取的值，区分为两大类:
一类叫离散型随机变量, 其特征是只能取有限或可列
个值．在例1的（1）和（2）中，随机变量为离散型随
机变量．
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用随机变量表示随机事件:
在灯泡寿命试验中， {灯泡的寿命不低于1000小时} 可用随机变量X表示为{X≥1000}
用随机变量X表示玉米穗位，则{玉米穗位在100到 120厘米之间}可以表示为{100≤X≤120}
在投硬币试验中， {正面朝上}可以表示为{X=1} 一般地：{X=k} ，{X ≤a} ，{a＜X≤b}表示一个随机 事件。
亦可用下面的概率分布表来表示
X
x1
x2
…
xn
…
pk
p1
p2
…
pn
…
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分布列具有如下性质：
（1）非负性： pi ≥ 0 （i=1,2，…）

（2）规范性： pi 1 i 1
课堂练习1 已知随机变量X的概率分布为：
pk P{X k} ak (k 1,2,3,4,5) ,
C130
X
0
1
2
3
pk
1
6
1
3
1
2
10
30
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三、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1. 0-1分布 若随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，概率分布为
P{X 1} p, P{X 0} q 1 p
( 0＜p＜1，p+q=1) 则称 X 服从0-1分布（p为参数）, 也称为贝努里分布.
记作 X～ B (1 , p ). 其分布可表示为
P{X k} pk q1k , k 0,1
或
X1
0
Pp
q
若Ω只有两个样本点，即Ω={ω1,ω2}，则可以定义
具有0-1分布的随机变量：
1,
X = X(ω) = 0,
1 2
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主讲人：黄启蒙Βιβλιοθήκη 二、离散型随机变量的概率分布
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , …
X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …）
则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列（律）
求常数a.
5
解 由概率分布的性质得 pi 1
得 15a = 1, 即 a 1 .
i 1
15
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课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，
4个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。
解 用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，
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§2.1 离散型随机变量的概率分布
例2 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。 记ω1= “正面朝上”， ω2=“反面朝上”。
X

X ()

1, 0,
1 2
X也是定义在Ω={ω1，ω2}上的函数，是随机变量。
例3 测试灯泡的寿命：X=X（t）
Ω={t | t ≥ 0}
1，2，3。且取每一个值的概率分别为
P{X 0} C63 1 , P{X 1} C41C62 1
C130 6
C130
2
P{X 2} C42C61 3 , P{X 3} C43 1
10球
C130 10
C130 30
6白 4红
可表示为 P{X k} C4kC63k (k 0,1,2,3)
例2 假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，X表示他 投篮一次命中的次数，求X的概率分布．
解 用{X=1}表示“投篮一次命中”，{X=0}表示“投 篮一次没命中”，则
P{X=1}=0.8, P{X=0}=1－P{X=1}=1－0.8=0.2.
即X的概率分布为
X
0
1
P
0.2
0.8
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另一类是非离散型随机变量。在非离散型随机变量中，
通常只关心连续型随机变量，它的全部可能取值不仅是
无穷多的、不可列的，而是充满某个区间．在例1的（3）
和（4）中，随机变量则为连续型随机变量．
确实存在既非离散型也非连续型的随机变量。本教材
只介绍离散型和连续型的随机变量。
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§2.1 离散型随机变量的概率分布
例1 从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验，观 察发芽粒数。显然Ω={0，1，…，20}，用变量X表示发 芽种子粒数，则X的所有可能取值为 0，1，…，20.
ω
X(ω)
Ω
X
={ω} → X=X(ω)
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(2) 一个传呼台单位时间内接到的传唤次数，城市某 十字路口一分钟内通过的机动车数、单位时间内到达 某公交车站等车的人数等都可以用随机变量X来表示， 它所有可能的取值为一切非负整数；
(3) 电视机的使用寿命X（单位：h）是一个可以在 (0, +∞)上取值的随机变量，{X>10000}表示“电视机使用 寿命超过10000 h”这一事件．类似的，测量的误差X也 是一个随机变量，它可能的取值为(﹣∞,﹢∞)上任意实 数，{︱x︱ <0.1 }表示“测量的误差在(-0.1, 0.1)内”．
3. 随试验结果不同, X取不同的值，试验前可以知 道它的所有取值范围，但不知确定取什么值。
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例1 (1) 某厂50台车床在一天中需要维修的车床数， 50次射击试验中命中的次数等都可以用一个随机变量X
来表示，它可能取0，1，…，50中的任一非负整数；