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7.6 数列的极限
课标解读：
1、理解数列极限的意义；
2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：
1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a a n -无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。

注：a 不一定是{}n a 中的项。

2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim
=∞→n n ；③
)
1|(|0lim <=∞
→q q n n ；
3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ， 当
a
a n n =∞
→lim ，
b
b n n =∞
→lim 时，b
a b a n n n ±=±∞→)(lim ；
b
a b a n n n ⋅=⋅∞
→)(lim ；
)0(lim
≠=∞→b b a
b a n
n n
4、两个重要极限：
①
⎪⎩
⎪⎨⎧<=>=∞→00100
1lim c c c n
c n 不存在
②⎪⎩
⎪⎨⎧-=>=<=∞
→11||111||0
lim r r r r r n
n 或不存在
问题解析： 一、求极限：
例1：求下列极限： (1) 3
21
4lim 22
+++∞→n n n n
(2) 2
4323lim n n n
n n -+∞→ (3)
)(lim 2n n n n -+∞
→
例2：求下列极限：
(1) )23741(lim 2222n
n n n n n -++++∞→ ；
(2) ])23()13(11181851521[lim +⨯-++⨯+⨯+⨯∞→n n n
例3：求下式的极限：
)2
,0(,sin cos sin cos lim πθθθθθ∈+-∞→n n n n n
二、极限中的分数讨论：
例4：已知数列{}
n a 是由正数构成的数列，31=a ，且满足c a a n n lg lg lg 1+=-，其中n 是大于1的整数，c 是正数。

(1) 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
(2) 求1
122lim +-∞→+-n n n
n n a a 的值。

三、极限的应用： 例
5：已知p 、q 是两个不相等的正整数，且2≥q ，求1
)11(1
)1
1(lim -+-+∞→q
p n n
n 的值。

知识内化：
1、=++++∞→n
n n 212
lim __________________。

2、=+-+++++∞→])
1(2
3)1(1)1(1[lim n n n n n n n n ______________。

3、=⋅-⋅---+∞→1113
232lim n n n
n n n n ___________________。

4、下列四个命题中正确的是（ ）
A 、若22
lim A a n n =∞→，则A a n n =∞
→lim
B 、若0>n
a ，A a n n =∞
→lim ，则0>A
C 、若A a n n =∞
→lim ，则22
lim A a n
n =∞→
D 、若0)(lim
=-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞
→∞→=lim lim 5、已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，
其中q p >且1≠p ，1≠q ，
设n n n b a c +=，n S 为数列{}n c 的前n 项和，求1
lim -∞→n n
n S S 。

能力迁移：
1、数列{}n a 、{}n b 都是无穷等差数列，其中31=a ，21=b ，2b 是2a 与3a 的等差中项，且21lim
=∞→n n n b a ，求极限)1
11(lim 2211n
n n b a b a b a +++∞→ 的值。

基本练习： 一、填空题： 1. =-+∞→3
22lim
22n b n
n n ___________________。

2. 若n n x )12(lim -∞
→的极限存在，则实数x 的取值范围__________________。

3. 1)1
1
(lim
2=---+∞→b an n n n ，则
a
=______________，
b =____________________。

4. 数列{}n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点)1,(-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2
)1(lim
n a n
n __________________。

5. 已知
n n f +++= 21)(，则=∞→2
2)]([)
(lim n f n f n __________________。

6. 数列{}n a 的公差d 是
2，前
n
项的和为
n
S ，则
=-∞→n
n n S n a 2
lim _________________。

7. 设数列{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且2lim
=∞
→n
n
n b a ，则n
n n na b b b 3221lim
+++∞→ 等于
______________________。

8、将3
1
33)2(3lim 1=-⋅+-⋅+∞→n n n n n n x n n ，则实数
x
的取值范围是
__________________。

9、已知数列{}n a ：2
1
，3
23
1+，4
34
24
1++，…，10
9
102101+++ ，…，那么数列
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的所有项的和为________________。

10、已知等比数列{}n a 的首项1a ，公比q ，且有2
1
)1(lim 1=-+∞
→n n q q a ，则首项1
a 的取值范围
是__________________。

二、选择题
11、已知a 、b 、c 是实常数，且3lim 22=--∞→b cn c bn n ，则a
cn c
an n ++∞→22lim 的值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、2
1
D 、6
12、{}n a 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤=1001,210001,1
222
n n
n n n n a n ，则数列{}n a 的极限值（ ）
A 、等于0
B 、等于1
C 、等于0或1
D 、不存在 13、)]2
11()511)(411)(311([lim +----∞
→n n n 等于（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 14、已知122lim
=+-∞→n
n n
n n a a ，R a ∈，则a 的取值范围是（ ）
A 、0<a
B 、2-<a ，2>a
C 、22<<-a
D 、2<a 且
2-≠a
三、解答题
15、已知等差数列前三项为a 、4、a 3，前n 项和为n S ，2550
=k S
(1)求a 及k 的值；
(2)求)111(lim 21n
n S S S +++∞
→ 16、曲线)0(1:>=x xy C 与直线x y l =:相交于1A ，作l B A ⊥11交
x 辆于1B ，作l A B //21交曲线C 于2A ……依此类推。

(1)求点1A ，2A ，3A 和1B ，2B ，3B 的坐标； (2)猜想n A 的坐标，并加以证明；
(3)求n
n n n n B B B B 11||lim -+∞
→ 17、已知数列}{n a 满足)1)(1()1(1-+=-+n n a n a n 且62=a ，设)(*∈+=N n n a b n n (1)求}{n b 的通项公式；
(2)求)2
1
212121(lim 432-++-+-+-∞
→n n b b b b 的值。

18、设n T 为数列}{n a 前n 项的和，))(1(2
3N n a T n n ∈-=。

数列}{n b 的通项公式
为)(34N n n b n ∈+=
(1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)若},,,,{},,,,{321321 n n b b b b a a a a c ∈，则c 称为数列}{n a ，}{n b 的公共项，将数列}{n a 与}{n b 的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明：数列}{n c 的通项公式为)(312N n c n n ∈=+；
(3)设数列}{n c 中的第n 项是数列}{n b 中的第m 项，m B 为数列}{n b 前m
项的和；n D 为数列}{n c 前n 项的和，且n m n D B A -=；求：4
)(lim n n n a A ∞
→。