屈服荷载的等效应变
m s k 1 k k 1
前级荷载的等效应变
本级荷载的等效应变
粘弹性与粘塑性本构关系
考虑混凝土在一定应力状态下随时间的变化 1）粘弹性本构关系
后继屈服面的形态与中心初) F *[ij K(ipj )] 0
K为硬化参数，与塑性变形等内变量有关，比如
K H( dW p ) H( ij dipj )
K H ( d p ) H (
d
p ij
d
p ij
)
弹塑性本构关系－增量理论
函数通常以单向拉伸试验确定。可以把单向拉伸图形作为
函数的曲线
弹塑性本构关系－形变理论
应力应变关系矩阵
进而可得到单元刚度矩阵
Ke BT DepBdv
v
弹塑性本构关系－增量理论
考虑加载过程，计算机时代被广泛使用 三方面作出假定： 1）屈服准则 应力状态满足什么条件，材料进入屈服状态 2）流动法则 材料处于屈服状态时，塑性变形增量的方向 3）硬化法则 材料达初始屈服面后，卸载后再次加载，屈服条件变化法则 理想弹塑性、硬化、软化？
屈服面：F ( ij ) 0
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则 加卸载准则 （2）强化材料的加卸载准则
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则
加卸载准则 （3）软化材料的加卸载准则
(ij , H ) 0
应变空间！
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则 强化模型：等向强化，随动强化，混合强化 （1）等向强化模型
非线性弹性本构关系－增量型
全量型：按比例一次加载，与加载路径无关 增量型：逐级加载/非比例加载 建立应力增量与应变增量的关系
以一维为例， d Et d • Saenz公式
Et ：切线弹性模量 应力对应变求导得到
• Sargin公式
• Elwinad-Murray公式
非线性弹性本构关系－增量型
• Saenz公式
软化如何考虑？
弹性段： E
塑性段： E[1 ( )]
• 卸载模型
弹性卸载
• 反向加载（强化）模型
等强强化模型 随动强化模型
适合混凝土吗？
弹塑性理论
等强强化模型与随动强化模型 适用于混凝土材料吗？
流变学理论
弹性理论：仅与应力状态有关 塑性理论：与应力状态、加载历史、加载路径有关 流变学理论：除上述外，还与时间有关
• 理想塑性元件（St.Venant体、滑块体）
f f
0
某值
流变学理论
两元件的组合单元之一：
麦克斯韦（Maxwell）模型
变形协调方程： 1 2
元件力－变形关系： E
组合元本构方程：
E
引入中间变量t，考察 t 关系
徐变： t 0 0
0 0 t E
0 D1
材料单轴受力： D 1 An A
E En (1 D)
构件：
En (1 D)
结构：
非线性弹性本构关系－全量型
线弹性本构关系
D
也可用体积弹性模量K和剪切弹性模量G表示
非线性弹性本构关系－全量型
线弹性本构关系
D
非线性弹性本构关系－全量型
如果将材料常数E、v或K、G不取常数，而是随应力 状态变化的参数，则得到材料非线性弹性关系
oct ：八面体正应变 oct ：八面体剪应变
非线性弹性本构关系－全量型
全量K－G型（方法一）
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
引入非线性指标概念，基于一维应力－应变关
系表达式，求出即时的 Es 和 s ，进而得到材
料非线性本构矩阵 步骤：1. 已知材料 fc E0 0 F( ij ) 0
2 E1
E2 0
0 d1
0
d
2
(1 1 2 )Gd 3
E1 ? E2 ? 1 ? 2 ? G ?
Darwin-Pecknold：在消除了泊松比影响后，双轴受压下 各主向的应力－应变关系可用Saenz公式描述。
双轴受拉，一轴受压一轴受拉，受拉方向：
非线性弹性本构关系－增量型
双向应力状态下的Darwin-Pecknold模型
弹塑性小变形理论，适用于简单加载 （各应力分量按比例加载）
假定： 1）平均应力与平均应变成线弹性 2）应力主方向与应变主方向重合，应力偏量与应变偏量相似 3）应力强度是应变强度的确定函数 4）弹性卸载
卸载时，弹性部分可恢复，塑性部分不可恢复。
弹塑性本构关系－形变理论
1）平均应力与平均应变成线弹性 m Km
徐变
松弛
断裂力学理论
研究固体材料中裂缝的扩散规律和断裂条件
max 3
max
(1
2
a
)
b2
a
max
材料必然破坏？
断裂力学理论
三种裂缝类型： 张开型(Ⅰ类)、滑开型(Ⅱ类)、撕开型(Ⅲ类)
K I 应力强度因子，常数
K I K IC 断裂韧度
a
总体上反映应力场奇异性
损伤力学理论
损伤因子D：表征材料内部缺陷的物理量
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则 后继屈服面：卸载后再加载，初始屈服面扩大或缩小 与应力状态、塑性变形程度和加载历史有关 f (ij , ipj , k) 0 K为硬化或软化参数
弹塑性本构关系－增量理论
2）硬（强）化条件和加卸载准则 加卸载准则 （1）理想弹塑性材料的加卸载准则
3J2
弹塑性本构关系－增量理论
4）弹塑性本构矩阵的显式表达式 随动强化的Mises材料
Dep
其中，
9G
2 2 ( A 3G)
C 2 EEr 3 E Er
弹塑性本构关系－增量理论
4）弹塑性本构矩阵的显式表达式
弹塑性过渡区的刚性矩阵
上一级荷载时单元处于弹性，本级加载后进入塑性
[D]ep m[D] (1 m)[D]ep
三轴应力状态： Ottosen法 J2 法
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
即时的 Es和 s 的确定
A (D 1)( )2
Sargin应力－应变表达式： c
c
fc 1 ( A 2) D( )2
将
fc
和
Es
带入上式得：
c
c
Es
1 2
E0
正交异性的应力增量和应变增量的关系为：
对于泊松比：
非线性弹性本构关系－增量型
三向应力状态下的Bathe模型
非线性弹性本构关系－增量型
三向应力状态下的Bathe模型
非线性弹性本构关系－增量型
三向应力状态下的Bathe模型
非线性弹性本构关系－增量型
三向应力状态下的Bathe模型
．．．．．．
弹塑性本构关系－形变理论
2. 求主应力，或不变量 I1 J2 J3 3. 求非线性指标
4. 求出即时的 Es和 s
5. 得到材料非线性本构矩阵
非线性弹性本构关系－全量型
全量E 型 （Ottosen模型，方法二）
非线性指标 的确定：
单向应力状态：
fc
双向应力状态：
0 1
2 1 OP 2 f 1 f OF
卸载：恢复弹性变形，保留徐变
流变学理论
两元件的组合单元之一：
麦克斯韦（Maxwell）模型
松弛： t 0
0
t 任意 0
E t
0e
麦克斯韦模型与混凝土徐变/松驰的差异：趋于某一限值
流变学理论
两元件的组合单元之二： 开尔文（Klevin）模型
力平衡方程： 1 1 2
元件力－变形关系： E
弹塑性本构关系－增量理论
1）屈服准则 几个概念：初始屈服面，后继屈服面，加载面，破坏面
弹塑性本构关系－增量理论
1）屈服准则 对于各相同性材料，屈服条件可表示为主应力或应力不变量 的函数：
f (I1, J 2 , ) 0
Tresca, Von Mises, Druck-Prager屈服准则等
屈服面闭合型：子午面上闭合 屈服面开口型：不符合混凝土等准脆 性材料在高三轴压应力下能够发生屈 服的事实。采用帽子模型修正。
弹塑性本构关系－增量理论
5）弹塑性本构矩阵的显式表达式
两种方法： 1.将具体的屈服函数代入，或 2.利用计算机的矩阵运算能力 求出显式弹性矩阵表达式，再导出弹塑性本构矩阵的显式 表达式
弹塑性本构关系－增量理论
4）弹塑性本构矩阵的显式表达式 等向强化的Mises材料
其中，
9G
2 2 ( A 3G)
形式一：全量型
方法一：试验直接确定 材料材料参数
方法二：利用一维试验结 果，给出算法，得到不同 应力状态下的材料参数
方法评价
形式二：增量型
以后介绍
非线性弹性本构关系－全量型
全量K－G型（方法一）
K s aboct c d K0
Gs G0
pq oct
m s oct t
K 0 ：初始体积模量 G0 ：初始剪切模量
非线性弹性本构关系－增量型
• Sargin公式
非线性弹性本构关系－增量型
• Elwinad-Murray公式
非线性弹性本构关系－增量型
双向应力状态下的Darwin-Pecknold模型
考虑泊松比的影响，正交异性的应力增量和应变 增量的关系为：
d1
d
2
d 3
1
1 1 2
E1
1E2
0
1 m 3 (x y z )
m
1 3