高中数学建模竞赛试题竞赛时间共120分钟，总分150分高20 级 班 姓名一、选择题(每题只有一个选项正确，将正确的选择项填入题后的括号内8×7)：1、三个框中，一个装有苹果，另一个装有柑子，第三个框装有苹果和柑子，装好分别标上“苹果”“ 柑子”“混装”三个标签。

后查全都装错了，现在只能打开一个框来纠正三个标签，应该打开哪个框？（ D ） A 、“苹果”标签 B 、“ 柑子”标签 C 、“混装”标签 D 、都可以2、一批旅游者决定分乘几辆大汽车旅游，每车乘22人时有一人坐不上车；若开走一辆空车，所有的旅游车刚好平均分配到余下的车；而每车最多载32人。

则旅游者的人数和汽车的辆数各为（ B ）A 、441，20B 、529，24C 、331，15D 、414，193、某县所建水库最大容量为：1.28×510立方米，据监测，在山洪暴发中注入的水量n S 与天数n 的关系式为：n S =5000)24( n n 。

水库原有水量为8×410立方米，泄水闸每天泄水量4×310立方米，那么多少天后堤坝有危险（水容量超过最大容量为危险）（ B ） A 、15天 B 、9天 C 、6天 D 、12天 4、下列哪个事件不能构成数学建模的案例？（ C ）A 、学生的作业完成情况。

B 、城市饮用水消费情况。

C 、学生养成中的违纪案例。

D 、老师讲解测量实践案例。

5、一商品进价为80元，销售价为100元；为增加销量，采用每卖出一个商品就赠送一个价值1元的小商品的方法，结果销量增加10%；在实践中，若礼品的价值为n+1元比礼品为n 元时销量增加10%。

请设计礼品价值为多少元时，利润最大。

（ D ）A 、8元B 、9元C 、10元D 、9或10元 6、机器人每前进一步就向左转030，则下列哪一次机器人会回到起点？（ B ） A 、10次 B 、36次 C 、42次 D 、55次7、有一个摊主用4个白子和4个黑子作赌，其摸彩规定：从袋子里8个子中摸4个，要交A 、358B 、701C 、83D 、438、从宣汉到达州的公路两旁有许多的景点，但总是投入不赚钱，你认为应该从下列哪个方向投入为最佳方案（ B ）A 、追加景点B 、打造亮点C 、政府命令D 、广告投入 二、填空（把每题的最后答案填入后面的横线上2×7）1、老王向银行贷款3万元发展产业，并按银行贷款月利为0.01，且为复利。

若半年还完，则每月还款 5176.4510013264426078741354282726 元（等额还款法）。

2、32位学生中仅一个患有阴性基因的传染病，最少用 5 次可找到这位病人。

三、解答论述题（写出完整过程，每题20分）1、身边有工程任务包含6道工序：A 、B 、C 、D 、E 、F ，各道工序所需时间天数依次是：2、3、4、2、5、3，其关系具体为：A 要先开工，B 、C 、D 可以同时进行：然后E 、F 同时进行。

⑴、画出工序流程图；⑵、求出完成这项任务至少需要多少天？关键是哪一条线路？2、超市中的商品在近一月内的每件销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系是：P=Nt N t t t t ∈∈≤≤<<⎩⎨⎧+-302525010020，该种商品的日销售量Q （件）与时间t(天)函数关系式是：Q=－t +40 (0＜t ≤20，t ∈N)或10（20＜t ≤30，t ∈N ），求这种商品的日销售额的最大值。

3、国家西部林场有荒山3250公顷，从1990年开始每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100公顷，以后每一年比上一年多植树50公顷，求： ①到哪一年可将荒山全部绿化？②新种植的树苗每公顷木材贮量是30立方米，自然生长使木材贮量增长10%，用S 表达年底木材总贮量，求S 的表达式，并估算约为多少立方米？4、如图示，铁矿石基地A 和冶炼厂B 在铁路MN 的两侧，A 距铁路a 千米，B 距铁路b 千米，现要在铁路上建两座火车站C 、D ，A 处的铁矿石先由公路运到C 处，再经铁路运到D 处，最后经公路运到B 处结束。

由A 、B 向MN 作垂线得点E 、F,且线段EF 长度为m(很长)千米，公路中汽车速度为u 千米/小时，铁路中的火车速度为v 千米/小时(u ＜v)。

为使运输时间最短，火车站应建在什么位置？一、选择题：DBBC DBAB二、填空题：5176.4510013264426078741354282726， 5 三、解答题：1、解：⑴、工序流程图为：35243FDC⑵、由题意得，流程线路为：①A →B →E ，用时2+3+5=10天；②A →B →F ，有时2+3+3=8天； ③A →C →E 。

用时2+4+5=11天；④A →C →F ，用时2+4+3=9天 ⑤A →D →E ，用时2+2+5=9天； ⑥A →D →F ，用时2+2+3=7天。

所以，完成这项任务至少需要7天；由于③A →C →E 。

用时11天；①A →B →E ，用时10天；用时相对于7天较多 所以，关键是A →C →E 和A →B →E 线路。

2、解：由销售价格P 与时间t 关系为：P=Nt N t t t t ∈∈≤≤<<⎩⎨⎧+-302525010020及日销售量Q 与时间t 为：Q=－t +40 (0＜t ≤20，t ∈N)或10（20＜t ≤30，t ∈N ） 所以，日销售额R 为：R=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⨯+-<<⨯≤<+⨯302510)100(25201020200)4020t t t t t —（ R=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-<<≤<+3025100010252020020080020t t t t t — 根据N t ∈，即t=1、2、3、…、28、29、30所以，函数y=－20t+800，0＜t ≤20中为减函数，t=1时最大值为：－20×1+800=780 函数y=200，20＜t ＜25为常数函数，最大最小值都为200函数y=－10t+1000,25≤t ≤30为减函数，最大值为：－10×25+1000=750 所以，在t=1即第一天时，销售额最大为780元。

3、解：①由题意得：1990年植树100公顷，1991年植树150公顷，1992年植树200公顷， 所以，从1990年开始每年植树的数目构成等差数列 到n 年后可将荒山全部绿化，有：100×n+2)1(-n n ×50=3250 解之得：n=10或-13（由年数不能为负数，舍去），即n=10 所以，到1999年底之后，可将荒山全部绿化。

②1990年木材贮量为100×30=3000由每年比上年新增50公顷，也新增木材贮量50×30=1500所以，由自然生长使木材贮量增长10%，得10后的木材贮量S 为：S=3000×101.1+4500×91.1+6000×81.1+7500×71.1+9000×61.1+ … +16500×1.1 两边同乘以1.1得： 1.1S=3000×111.1+4500×101.1+6000×91.1+7500×81.1+9000×71.1+ (16500)21.1两式相减得：1.0S=3000×111.1+1500×（101.1+91.1+81.1+ … +21.1）－16500×1.1=3000×111.1+1500×1.111.111.192—）—（⨯－16500×1.1=180000×111.1－36300=15056.10070998 所以，S=150561.0070998立方米4、解：由题意得：取EC =x ，有：AC=22x a + 先简单化问题，只设C 站，从A 经C 到F 时间为：t=u x a 22++vx l - （x 远小于l ）化为关于x 二次方程：2222v u v u -2x +v 2( t －v l )x+2)(vl t -－22u a =0并有解所以得：△≥0，即24v 2)(v l t -－2222v u v u -[2)(v l t -－22u a ]≥0化简有：2)(vl t -≥2222v u u v -2at －v l ≥22u v uva-所以取等号时t 值最小，最小为：t=22u v uv a -+vl并代入： 2222v u v u -2x +v 222u v uva -x+2222v u v u -2a －22u a =0并解之得：x=22uv au -为所求；关于C 站距离发现x=22uv au -的值与l 无关，所以类推D 站距离点F 为y ：y=22uv bu -为所求当然由于l 很大，所以x+y ＜l 车站C 应建立在距离点E 有22uv au -千米；车站D 建立在距离点F 有22uv bu -千米。