第五章 纠错编码习题解答
1、已知一纠错码的三个码组为(001010)、(101101)、(010001)。

若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若纠检错结合，则能纠正几位错码同时检出几位错码？
[解]该码的最小码距为d 0=4，所以有：
若用于检错，由d 0≥e +1，可得e =3，即能检出3位错码； 若用于纠错，由d 0≥2t +1，可得t =1，即能检出1位错码； 若纠检错结合，由d 0≥e +t +1 （e >t ），可得t =1，e =2，即能纠正1位错码同时能检出2位错码。

2、设某(n ,k )线性分组码的生成矩阵为：
001011100101010110G ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
①试确定该(n ,k )码中的n 和k ； ②试求该码的典型监督矩阵H ； ③试写出该码的监督方程； ④试列出该码的所有码字； ⑤试列出该码的错误图样表； ⑥试确定该码的最小码距。

[解] ①由于生成矩阵G 是k 行n 列，所以k =3，n =6。

②通过初等行变换，将生成矩阵G 变换成典型生成矩阵
[]
100101010110001011k G I Q ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由于101110110011011101T Q P Q ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，　＝＝，可知典型监督矩阵为 []110100011010101001r H PI ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦＝ ③监督方程为5424315
300
00
a a a a a a a a a ⊕⊕=⎧⎪⊕⊕=⎨⎪⊕⊕=⎩
④所有码字见下表
⑤错误图样表即错误图样与校正子关系表，见下表
⑥线性码的最小码距为码字的最小重量（全零码除外），所以该码的最小码距为3。

3、已知一种(7,3)循环码的全部码组为：
0000000 0101110 1001011 1100101 0010111 0111001 1011100 1110010
试求该码的生成多项式g (x )、典型生成矩阵G 和典型监督矩阵H ；
[解]由循环码的原理知，生成多项式g (x )对应的码字为前k -1位码元均为“0”的码字，即“0010111”，所以有
g (x )=x 4+x 2+x +1
则生成矩阵为26432532
42()1011100()0101110()10010111x g x x x x x G xg x x x x x g x x x x ⎡⎤⎡⎤+++⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 典型化可得典型生成矩阵[]
100101101011100010111k G I Q ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由于1
10101101111101
110111101T
Q P Q ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
，　＝＝，可得典型监督矩阵为 []11010000
11010011100101
010001r H PI ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
＝
4、已知一个(3,1,4)卷积码编码器的输出和输入关系为：
11
212343134
c b c b b b b c b b b ==⊕⊕⊕=⊕⊕
试画出该编码器的电路方框图和码树图。

当输入信息序列为10110时，试求出其输出码序列。

[解] 电路方框图和码树图见下面。

当输入信息序列为10110时，其输出码序列为111 111 100 111 001。

5、已知一个(2,1,3)卷积码编码器的输出和输入关系为
112223c b b c b b =⊕=⊕
试画出该编码器的电路方框图、码树图、状态图和网格图。

[解] 分别见下面的图。

6、简要叙述前向纠错（FEC ）差错控制方法的原理和主要优缺点。

[解]略
7、已知(7,3)循环码的生成矩阵为
101110001011100010111G ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
①试写出该码的生成多项式g (x )和监督矩阵H ；
②若输入信息码为011，试写出对应的循环码码组；
③该码能纠正几位错误？
[解] ①②见第3题
③该码的最小码距为4，所以能纠1个错码。