快速傅里叶变换 _
回顾 —— 截断效应
若使泄漏→至0，则
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，意味着需要无限加宽窗函数，等于未截短。
所以不能用无限加宽窗口来减少泄漏。
j 具有旁瓣，并且主瓣也占有一定宽度。 不过，泄漏的产生是由于 W
小、主瓣窄的窗函数。
主瓣
W N ( e j )
为了尽量减少泄漏，需要寻找频域中窗函数 W j 接近 ，即旁瓣
快速傅里叶变换
回顾
信号逼近所产生的问题
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为了分析连续信号频谱，需要使用 DFT来逼近连续时间信
号的傅里叶变换。但由于 DFT要对连续信号进行采样和截
断等处理，因此，常产生误差分析，体现在三个方面。 ① 混叠现象：由于不满足抽样定理而引起； ② 截断效应：由于序列截断引起； ③ 栅栏效应：由于对频谱的有限点采样引起。
回顾 —— 截断效应
可见： 原来在
处的一根谱线，变成了以 0 为中心，形状 为 的连续频谱。 Sa /2
0
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“泄漏”是由矩形窗函数带来的， 求极限：
1 lim Sa / 2 lim X e j W j 2 2
1 lim X e j Sa / 2 2 j X e X e j
N
旁瓣
旁瓣
2 N
0
2 N
4 N
回顾 —— 栅栏效应
3. 栅栏效应
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N点DFT是在区间[0, 2]上的N点等间隔采样，采样点之间的频谱函数
值是不知道的 ，就好像从 N+1 个栅栏缝隙中观看信号的频谱特性，得
到的是N个缝隙中看到的频谱函数值，这种现象称为栅栏效应。 原因：对信号的频谱进行有限点采样； 后果：栅栏效应可能漏掉（挡住）大的频谱分量； 措施：对原序列补0，增大N，以增加采样点。
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f ,s 导致 F增加， 0
② 反之, 若打算要提高频率分辨率即减小 F 0 , 则导致减小 f s , 最终必须减
小信号的高频容量。
③
fh 显然，针对高频容量
与频率分辨率 F0
, 想保持其中一个不变而使
另一个性能得以提高的唯一办法是：
增加记录长度内的点数N, 即：N
2 fh F0
这是未采用任何特殊数据处理（例如加窗）情况下，为实现基本DFT算 法所必须满足的基本条件。
回顾 —— 截断效应
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2. 截断效应 窗函数不可能取无限宽，即其频谱不可能为一冲激函数， 信号的频谱与窗函数的卷积 必然产生拖尾、变宽的现象， 从而造成截断效应 。如下图所示。
x(n )
X ( e jw )
w (n )
W (e
jw
)
x ( n ) xn () w ( n ) N
w j w j w Xe (j ) X ( e ) * W ( e ) N
xn ( ) { 2 ,3 ,3 ,2 } xn ( ) { 2 ,3 ,3 ,2 ,0 ,0 ,0 ,0 } 1
N1 n0 -j 2 nm N
【解】
X (k) x(n) e
N1 n0
x(n) e
n0 7
3
-j
2 nm 4
{ 10, 1 j, 0, 1 j} X1(k) x1(n) e
管中窥豹
回顾 —— 栅栏效应
减小栅栏效应的方法 —— 补零
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减小栅栏效应的一个方法是， 在所取数据的末端添加一些 零值点，使一个周期内点数增加, 数据。 但是不改变原有的记录
这种方法相当于加长了周期T0，T0增加, 使得频域抽样间
隔变小, 从而能保持原来频谱形式不变的情况下使谱线变 密, 也就使频谱抽样点数增加。 这样，原来看不到的频谱分量就有可能看到了。
1 fs 2 fh tp N N
为抽样点数。
措施： 采样前对信号进行预滤波，采样时满足采样定理，以 避免信号在w=处附近的混迭，再滤去信号中频率高于 f 的频率分量。
s
2
回顾 —— 频谱混叠
需要注意的是：
① 当 N 给定时, 若为了避免混叠现象而一味提高抽样频率 即导致频率分辨能力下降;
-j 2 nk N
x1(n) e
n0
-j
2 nk 8
x(n) e
n0
3
-j
2 nk 8
{ 10, 2.7-j6.5, 1 j, 1.3-j0.5, 0, 1.3 j0.5, 1 j, 2.7 j6.5}
例 1：—— 栅栏效应
x=[2,3,3,2]; subplot(2,2,1); stem(x,'fill');title('x(n)'); N=8*length(x); NFFT = 2^nextpow2(N); Xk=fft(x,NFFT); subplot(2,2,2); f = 0:2*pi/(NFFT-1):2*pi; stem(f,abs(Xk)); title(['X(k) DFT点数 N=' num2str(NFFT)]); x1=[2,3,3,2,0,0,0,0]; subplot(2,2,3);stem(x1,'fill'); title('x1(n)'); N1=8*length(x1); NFFT1 = 2^nextpow2(N1); X1k=fft(x1,NFFT1); subplot(2,2,4); f1 = 0:2*pi/(NFFT1-1):2*pi; stem(f1,abs(X1k)); title(['X1(k) DFT点数 N=' num2str(NFFT1)]);
回顾 —— 频谱混叠
1. 混叠现象
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回顾 —— 频谱混叠
原因：时域采样不满足奈奎斯特准则：f s 2 f h
fs 其中
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fh 为抽样频率， 为信号最高频率。 fs 此条件只规定了 的下限，其上限要受 频率分辨率
F0 （抽样间隔）
其中， N
F0 的约束。
F 0
也可表示为记录长度的倒数，即：
回顾 —— 栅栏效应
N 8 fs F 8
11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
F
x ( n ) 后面补4个零值，则有：
0 1 2 3 4
N 12 f F s 122源自5 6 789
10 11 12
F
fs fs F F 8 12
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例 1：—— 栅栏效应
已知：
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