福建省罗源第一中学2021届高三数学10月月考试题一、单选题（每小题5分） 1．复数11i i-+（i 为虚数单位）的虚部是（ ） A. -1B. 1C. i -D. i2．αβ≠是cos cos αβ≠的( )条件.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于（ ）A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π34．函数1ln sin 1xy x x+=⋅-的图象大致为（ ）5．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(1，2]6．已知△ABC 中，AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，点P 是边BC 的中点，则AP →·BC →等于( )A ．1B ．2C ．3D ．47．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( ) A.23 B ．34 C.43 D ．32 8．在ABC ∆中，已知点P 在线段BC 上，点Q 是AC 的中点，AQy AB x AP +=，0,0>>y x ，则yx 11+的最小值为（ ）A ．23B ．4 C.223+ D. 223+ 二、多选题（每小题5分，部分选对得3分）9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ） A ．若a b >，则sin sin A B >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形10．设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A ．若1122AM AB AC =+，则点M 是边BC 的中点 B ．2AM AB AC =-若，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM BM CM =--，则点M 是ABC 的重心D ．若AM x AB y AC =+，且12x y +=，则MBC △的面积是的ABC 面积的1211．要得到函数x y cos =的图像，只需将函数)32sin(π+=x y 的图像上所有的点（ ）A ．先向右平移6π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的21（纵坐标不变） B ．先向左平移个12π单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的21（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论： A ．f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点 B ．f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增D ．ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910其中所有正确结论是( ) 三、填空题（每小题5分）13．若,x y满足约束条件262x yx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3x y+的最小值为_________．14．已知平面向量a，b满足a＝(1，3)，|b|＝3，a⊥(a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．15．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e－x，x≤0－x2－2x＋1，x>0，若f(a－1)≥f(－a2＋1)，则实数a的取值范围是_____16．在面积为2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则2BCPBPC+•的最小值是______.四、解答题（第17题10分，第18——22题每题12分）17．化简下列各式并求值：（1）13312(lg50lg5)82log9log4-⨯+；（2）已知tan2x=，求2cos cos()23sin2x xxπππ⎛⎫++-⎪⎝⎭⎛⎫+⎪⎝⎭的值.18．已知函数()Asin()(0,0,||)2f x x Aπωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.（1）求A，ω和ϕ的值；（2）求函数()y f x=在[]1,2上的单调递减区间；19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos C sin B＝bsin B＋ccos C.(1)求角B的大小；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．20．如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，点D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，交AB 于点E ，且BC ＝2，DE ＝62. (1)求B ；(2)求△ABC 的面积．21．已知二次函数2()2f x x x =+. （1）求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）讨论函数()()ln(1)g x f x a x =++的单调性。

22．已知向量()2sin ,3cos a x x =，向量()cos ,2cos b x x =，函数()3f x a b =⋅-. （1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及取得最值时x 的值； （2）求证：存在大于3π的正实数0x ，使得不等式()23ln f x x>在区间()0,x e 有解.（其中e 为自然对数的底数）1、B2、B3、D4、A5、D.6、B. 7．A. 8、C 9、AC 10．ACD 11、BC 12．ACD 13．2- 14．2315．[－2，1] . 16、17、【详解】(1)13312(lg50lg5)8(lg10)212log 9log 442-⨯⨯==+-.(2)∵2cos cos()2sin cos 22tan 13cos sin 2x x x x x x x πππ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭==+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 又tan 2x =，∴原式2215=⨯+=. 18．【详解】（1）由题可得1A =，412()233T =-=，则2Tπωπ==，当56x =时，()f x 取得最大值，则52()62k k Z ππϕπ+=+∈，所以2()3k k Z πϕπ=-+∈，又因为||2ϕπ<，故3πϕ=-；（2）由（1）可知()sin()3f x x ππ=-，令322232k x k ππππππ+-+，k Z ∈， 则5112266k xk ++，k Z ∈， 故()f x 的单调递减区间为5[26k +，112]()6k k Z +∈，则()f x 在[1，2]上的单调递减区间为[1，11]6；19．解：(1)利用正弦定理，得sin A cos C sin B ＝cos C ＋sin C cos C ，即sin （B ＋C ）sin B＝cos C ＋sin C ，则sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin B sin C ，又sin C ≠0， 所以tan B ＝1，又0＜B ＜π，∴B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac ，所以当ac 最大时，S 最大．由已知及余弦定理，得2＝a 2＋c 2－2ac cos π4＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ，所以ac ≤22－2＝2＋2，当且仅当a ＝c 时取等号，所以△ABC 的面积的最大值为24×(2＋2)＝2＋12. 20．解：(1)∵a sin A ＋(c －a )sin C ＝b sin B ，∴a 2＋(c －a )·c ＝b 2，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，0<B <π，∴B ＝60°.(2)连接EC (图略)，D 是AC 的中点，又DE ⊥AC ，∴AE ＝CE ＝DE sin A ＝62sin A ，∠A ＝∠ECD ，∠BEC ＝2∠A ，在△BCE 中，ECsin B＝BCsin∠BEC ，即62sin A ·sin B ＝2sin 2A ，即化简整理得：cos A ＝22，∵0<A <π，∴A ＝45°，∠BEC ＝2∠A ＝90°，即CE ⊥AB ，AB ＝AE ＋BE ＝3＋1.∴S △ABC ＝12AB ·CE ＝12(3＋1)·3＝3＋32.21试题解析：（1）014=--y x（2）()()22ln 1(1)g x x x a x x =+++>-()()2212211x a a g x x x x ++=++='++ 当0a ≥时，()g x '在()1,-+∞上恒正； 所以，()g x 在()1,-+∞上单调递增当0a <时，由()0g x '=得1x =-+所以当1,1x ⎛∈-- ⎝时，()()0,g x g x '<单调递减当1x ⎛⎫∈-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增. 综上所述，当0a ≥时，()g x 在()1,-+∞上单调递增； 当0a <时，当1,1x ⎛∈-- ⎝时，()g x 单调递减；当1x ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递增. 22、【详解】 （1）()232sin cos sin 222sin 23f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，sin 232x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x ⎡⎤∴∈⎣⎦，因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为；（2）存在大于3π的正实数0x ，使得不等式()ln f x x>(0x 有解，即存在大于3π的正实数0x ，使得不等式sin 23x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在区间(0x 有解，令()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，()h x x =，则当3x π⎛∈⎝时，函数()y g x =单调递增，函数()y h x =单调递增，又03g π⎛⎫=⎪⎝⎭，033h ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，sin 3g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，2h==，∴函数()y g x =与函数()y h x =在3π⎛ ⎝有且仅有一个交点，故存在大于3π的正实数0x ，使得不等式()ln f x x>(0x 有解.。