过同余的知识，那在课堂上应该的数字特征。
的数字特征呢？这需要教师对整除的性质有一个全面的了解。
最后列举几个可以利用整除的数字特征解决的题目：（１）已知
我们先来讨论整除的性质 （１），事实上，任何一个自然数 ３３｜ｘ２８５７ｙ，求 ｘ，ｙ（． ２）已知 ９９｜１４１ｘ２８ｙ３，求 ｘ，ｙ。（３）一个 ５ 位数，它
征［２］有：
来理解。这就要思考如何从自然数 Ｎ 中分离出能被 １１ 整除的一
（１）一个自然数能被 ２（或 ５）整除，当且仅当它的末位数字能被 部 分 。 通 过 观 察 与 计 算 可 以 类 比 发 现 ： 对 于 计 数 单 位
２ 或 ５ 整除；
１０，１００，１０００，１００００，……，只要从中依次加上 １，减去 １，再加上 １，
（２）一个自然数能被 ４ 整除，当且仅当它的末两位数字所组成 再减去 １，……，剩下的部分 １１，９９，１００１，９９９９，……，就都能被 １１
的数能被 ４ 整除；
整除了。一般地，
（３）一个自然数能被 ８ 整除，当且仅当它的末三位数字所组成 的数能被 ８ 整除；
Ｎ＝ａｎａｎ－ １…ａ１ａ０＝ａ０＋ａ１×１０＋ａ２×１０２＋ａ３×１０３＋ａ４×１０４＋…ａｎ×１０ｎ ＝ ［ａ１ ×（１０＋１）＋ａ２ ×（１０２－ １）＋ａ３ ×（１０３＋１）＋ａ４ ×（１０４－ １）＋ … ］＋ （ａ０－
初等数论中的一些基本知识在小学数学教学中的用途是十分广泛 然数 Ｎ，都可以写成
的，在初等数论的课堂教学中注重与小学数学教育结合起来，渗透
Ｎ＝ａｎａｎ－ １…ａ１ａ０＝１００×ａｎａｎ－ １…ａ２＋ａ１ａ０＝１０００×ａｎａｎ－ １…ａ３＋ａ２ａ１ａ０。
小学数学教学方法，提高学生的教学能力显得尤为重要。作为一名
Ｎ＝ａｎａｎ－１…ａ１ａ０，都可以写成 Ｎ＝ａｎａｎ－１…ａ１ａ０＝１０×ａｎａｎ－１…ａ１＋ａ０ 的形式。 的各个数位的数字之和是 ４３，并且能被 １１ 整除，求出所有满足条
显然由 １０＝５×２ 知 １０ 能被 ２ 和 ５ 整除，于是只要 ａ０ 能被 ２ 或 ５ 件的 ５ 位数。
整除 Ｎ 就能被 ２ 或 ５ 整除，即看一个数能否被 ２ 或 ５ 整除只要看 参考文献：
由此可见，要判断一个数 ａ 是否能被另一个数 ｂ 整除，只要从
数学教师，站在教学要游刃有余的角度上是必须掌握基本的初等 数 ａ 中分离出能被数 ｂ 整除的一部分，只要看剩下的部分能否被
数论知识的［１］。因此，与小学数学联系紧密的内容要放慢节奏详细 数 ｂ 整除就可以了［３］。而与整除的特征（１）～（３）不同，被 ３（或 ９）整除
是作除法。但对于一些特殊的数，只要利用可以被特殊数字整除的
但是被 １１ 整除的数字特征（５）仅仅靠观察与思考不易发现，研
数字特征就能判断出来，而且这种判断方法比较简捷、迅速，具有 究如何在课堂中引导学生理解这一整除的特征尤为重要。而这实
广泛的实用价值。比如我们常用的可以被特殊数字整除的数字特 际上也可利用上述“分离一部分能整除的，再看另一部分”的思路
讲解。
的数字特征（４）很难发现，那么应该如何利用上述思路来引导学生
整除的数字特征是与小学数学教学密切相关的内容，许多时 理解呢？我们可以如下列式分析：
候需要学生直接借助概念进行思维，而对于以形象思维为主的小 学生来说，这部分内容是难点。针对整除的数字特征这一教学内
Ｎ＝ａｎａｎ－ １…ａ１ａ０＝ａｎ×１０ｎ＋ａｎ－ １×１０ｎ－ １＋…＋ａ１×１０＋ａ０ ＝［ａｎ×（１０ｎ－１）＋ａｎ－１×（１０ｎ－１－ １）＋…＋ａ１×（１０－ １）］＋ａｎ＋ａｎ－１＋…＋ａ１＋ａ０
色，培养学生的授课能力做了一些有效的探索。
关键词：初等数论； 小学数学教学； 整除
中图分类号：G623．5
文献标识码：A
文章编号：1006- 3315（2012）08- 073- 001
高等师范学校的小学教育专业培养的是未来的小学教师。而 被 ８ 或 １２５ 整除只要看末三位？事实就是如此， 因为任何一个自
和与偶数位上的数字之和的差能被 １１ 整除。
把一个判断整除的问题转化成一个更小的判断整除的问题，这种
初等数论的教材中［２］要利用同余的知识证明上述整除的性质， 化难为易的做法使得判断方法具有了实用价值。理解了这个共同
而这在小学数学教学中显然是不适用的，小学生大多还没有接触 点，我们甚至可以自己研究一些判断一个数能否被另一个数整除
DOI:10.16728/ki.kxdz.2012.08.067
总第 ７００ 期
课堂经纬
整除的数字特征
—— —小学数学教学中的初等数论问题
于庆
（徐州高等师范学校数理系，江苏省 ２２１１１６）
摘 要：整除的数字特征是与小学数学教学密切相关的内容。本文针对这一教学内容就如何在初等数论的课堂教学中突出师范特
末位即可。
［１］潇湘数学教育工作室．站在皇冠顶上看风景（二）— ——数学教师要
小学教材中整除的特征（１）～（３）通常是独立安排的，在教学中 掌握一点初等数论知识［Ｊ］．湖南教育（下），２０１１（０５）
我们可以通过实例让学生体会到这三个特征的统一性。注意到 ［２］单墫主编．初等数论［Ｍ］．南京：南京大学出版社，２０００．２０－ ２７
容，本文就如何在初等数论的课堂教学中突出师范特色，培养学生
显然，只要从 １０，１００，１０００，……中拿出 １，剩下的 ９，９９，９９９，
的授课能力做了一些有效的探索。
……就都能被 ３ 和 ９ 整除了。于是，要看一个数能否被 ３（或 ９）整
众所周知，判断一个数能否被另一个数整除，最自然的办法就 除，只要看各数位上的数字之和能否被 ３（或 ９）整除即可。
（４）一个自然数能被 ３（或 ９）整除，当且仅当它的各数位上的数 ａ１＋ａ２－ ａ３＋ａ４－ …）
字之和能被 ３（或 ９）整除；
以上这些方法的共同点是为了判断一个数 ａ 是否能被另一个
（５）一个自然数能被 １１ 整除，当且仅当它的奇数位上的数字之 数 ｂ 整除，都是通过判断一个比 ａ 小的数能否被 ｂ 整除来实现，即
１００＝２５×４，这是否告诉我们看一个数能否被 ４ 或 ２５ 整除只要看 ［３］潇湘数学教育工作室．站在皇冠顶上看风景（一）— ——数学教师要
末两位？马上想到 １０００＝１２５×８，这又是否告诉我们看一个数能否 掌握一点初等数论知识［Ｊ］．湖南教育（下），２０１１（０４）
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