（2）若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；
若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立。比如：
a)函数，其中为实数，当时，的
单调性是______（答：增函数）；
b)设函数在上单调函数，则实数的取值范围______
（答：）；
c)已知函数为常数）在区间上单调递增，且方程
的根都在区间内，则的取值范围是____________（答：）；
在开区间（a,b）内的导函数，记作，
导函数也简称为导数。
3、求在处的导数的步骤：
（1）求函数的改变量；
（2）求平均变化率；
（3）取极限，得导数。
4、导数的几何意义：
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切
线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的
方程是。
特别提醒：
（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某
n（n∈Q+），则f`（x）=nxn-1；
2．若f（x）=x
3．若f（x）=sinx，则f`（x）=cosx；
4．若f（x）=cosx，则f`（x）=-sinx；
x，则f`（x）=axlnx；
5．若f（x）=a
6．若f（x）=ex，则f`（x）=ex；
17．若f（x）=logax，则f`（x）=
；
xlna
点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲
线上也不一定只有一条；
（2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只
有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。
比如：
（1）P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是
______（答：）；
在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。
不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时
候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数
学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而
中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其
端点值中的“最小值”。
（2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤：
（1）求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的
（答：①1；②或）。[1]
二、相关背景
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产
生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下
面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理
论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”
ln(
ln(x+△x)-lnx
f(x)=lim△x=lim
△x→0△x→0
x+△x
x)
ln(
△x=lim
△x→0
△x
x+1)
△x
设
△x
=t
x
x→0,t→0
△x=tx
所以原式等于lim
t→0
1
x
1
·
t
·ln(1+t)
=lim
t→0
1
x
·ln(1+t）
1
1
t=
x
3.(lnex)′=
1
ex
·(ex)′=1
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布
尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。
牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。
这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。
直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，
即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最
小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一
个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的
研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普
导数
一、导数的概念
1．导数的背景
（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在
时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）
2.导数的定义
如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着
一个导数，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做
一个是求积问题(积分学的中心问题)。
牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷
小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学
来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。
牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里
(ex)′=ex
x
4.(ax)′=(elna
)
′
=(exlna)
′
=exlna(xlna)′=ax·lna
5.试求f(x)=sinx的导函数f′(x)
f′(x)=lim
(
△x→0
sin(x+△x)+sinx
△x
)
sin(x+△x)=sin[(x+
△x
)+
2
△x
]
2
sinx=sin[(x+
△x
)-
2
△x
微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它
也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊
的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼
茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，
（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______（答：－3或
1）；
（3）已知函数（为常数）图像上处的切线与的
夹角为，则点的横坐标为_____（答：0或）；
（4）曲线在点处的切线方程是______________（答：）；
（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于
。①求的值；②求过点的曲线的切线方程
勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分
别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们
的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），
远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就
是当时莱布尼茨精心选用的。
微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用
微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
前面已经提到，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，
n
们各自相等时才取等号）
∵f(n)=(1+
1
n
)n=(1+1
)(1+
n
111
)····(1·+··)·(1·+·)x1<
nnn
[
(1+
1
n)n+1
n+1
n+2
n+1
]n+1=(
)n+1=(1+
1
n+1
)n+1
结论lim
n→∞
(1+
1

)
n
=e
反过来lim(1+n)
n→0
1
n=e
2.试求f(x)=lnx的导数。
（2）函数的导数为__________（答：）；
（3）若对任意，，则是______（答：）
[1]
四、部分初等函数的导数公式推导
1.设f（n）=(1+
1
n
)
n
1
f（n+1）=(1+
n+1
)n+1=2.718⋯=e
辅助结论：a
1+a2+a3·····n·········a
n
≥√a1a2a3a4····n·（·他··们·全·大a于零当且仅当他
]
2
f′(x)=lim
(
△x→0
cos(x+
△x△x
)·sin
22
△x
2
)=cosx
(cosx)′=[sin(
π
-x)]
2
′
=cos(
ππ
-x)·(-x)
22
′
=-sinx
辅助结论：
五、多项式函数的单调性
1.多项式函数的导数与函数的单调性：
（1）若,则为增函数；若,则为减函数；若恒
成立,则为常数函数；若的符号不确定,则不是单调函数。
b)已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是
_____（答：或）；