函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法：121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩+⇒⎧-⎧⎪⇒-⇒⎨⎨-⎩⎪-⇒⎩即单调增函数定义法（重点）：在其定义域内有任意，且即单调增函数复合函数快速判断：“同增异减”增为减函数基本初等函数加减（设为增函数，为减函数）：增为增函数减互为反.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩函数的两个函数具有相同的单调性例1 证明函数23()4x f x x +=-在区间(4)+∞，上为减函数（定义法）解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较）”进行.解：设12(4)x x ∈+∞，，且12x x <，1221121212232311()()()44(4)(4)x x x x f x f x x x x x ++--=-=---- 214x x >>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21()3x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法）练习2证明函数2()f x x =2()3-∞，上为增函数（定义法、快速判断法）练习3 求函数3()2x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法)练习4求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习） （二） 函数单调性的应用⎧⎪⎨⎪⎩单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域 例1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2(2)(3)f x x f a +>+恒成立，数a 的围。
练习1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2()(3)f x f a >-恒成立，数a 的围练习2 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2()(32)f a f a >+恒成立，数a 的围例2 若函数()f x 是定义在[]22-，上的减函数，且2(23)()f m f m +>恒成立，数m 的取值围.练习1 若函数()f x 是定义在[]13-，上的减函数，且(23)(54)f m f m +>-恒成立，数m 的取值围.例3求函数2()f x x x =-+-12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦，上的最大值.练习1求函数2()32f x x x =-++1144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值二 、奇偶性题型12()()()()()3()()()()()()=f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧⎪-⎪⎪=-⇒⎧⎪⎪⎪=--⇒⎨⎪⎨⎪≠-≠--⇒⎪⎪⎪⎪=-=--⇒⎩⎪⎪⎩±（）判断函数定义域是否关于原点对称（）求出的表达式偶函数函数奇偶性判断：判断步骤奇偶函数（）判断关系非奇非偶函数即是奇函数又是函数注：判断奇偶性先求出定义域判断其是否关于原点对称可加快做小题速度奇奇基本初等函数之快速判断：==123R ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎩奇偶偶偶奇偶非奇非偶奇偶相乘除：同偶异奇（）利用函数奇偶性求值函数奇偶性质运用：（）利用函数奇偶性表达式（）利用奇偶性求值域定义在上任意函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数之和：例1 判断下列函数的奇偶性 1)()()21f x x x =+ 2）()f x =3）()f x =）()2211021102x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩解：1）()f x 的定义域为R ，()()()()2211f x xx x x -=--+=+()f x =所以原函数为偶函数。
2） ()f x 的定义域为221010x x ⎧-≥⎪⎨-≥⎪⎩即1x =±，关于原点对称，又()()110f f -==即()()()()1111f f f f -=-=-且 ，所以原函数既是奇函数又是偶函数。
3）()f x 的定义域为2020x x -≥⎧⎨-≥⎩即2x =，定义域不关于原点对称，所以原函数既不是奇函数又不是偶函数。
4）分段函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称， 当0x >时，0x -<，()()()222111111222f x x x x f x ⎛⎫-=---=--=-+=- ⎪⎝⎭ 当0x <时，0x -> ，()()()222111111222f x x x x f x ⎛⎫-=-+=+=---=- ⎪⎝⎭综上所述，在()(),00,-∞⋃+∞上总有()()f x f x -=- 所以原函数为奇函数。
注意：在判断分段函数的奇偶性时，要对x 在各个区间上分别讨论，应注意由x 的取值围确定应用相应的函数表达式。
练习 判断下列函数的奇偶性1）()()()()2616x x f x x x -+=- 2）()f x =）()f x =4）()22f x x x =++- 5）()2200x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩例2 设()f x 是R 上是奇函数，且当[)0,x ∈+∞时()(1f x x =，求()f x 在R 上的解析式 解：Q 当[)0,x ∈+∞时有()(1f x x =，设(),0x ∈-∞， 则()0,x -∈+∞，从而有()()((11f x x x -=-=- ，Q ()f x 是R 上是奇函数，∴()()f x f x -=- 所以()()(1f x f x x =--= ，因此所求函数的解析式为()((1010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩注意：在求函数的解析式时，当球自变量在不同的区间上是不同表达式时，要用分段函数是形式表示出来。
练习1已知()y f x =为奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-+，求()f x 的表达式。
例3 已知函数()538f x x ax bx =++-且()210f -=，求()2f 的值解：令()53g x x ax bx =++，则()()8f x g x =- ()()()22810218f g g -=--=⇒-=()g x Q 为奇函数，∴()()()2218218g g g -=-=∴=- ()()22818826f g =-=--=-练习1 已知函数()7534f x ax bx cx dx =-+--且()39f -=-，求()3f 的值例4 设函数()f x 是定义域R 上的偶函数，且图像关于2x =对称，已知[2,2]x ∈-时，()21f x x =-+求[]6,2x ∈--时()f x 的表达式。
解：Q 图像关于2x =对称，()()22f x f x ∴-=+， ()()()22f x f x =--=()()()4[4]4f x f x f x -=--=- ()()4f x f x =+ 4T ∴= []6,2x ∈--[]42,2x +=- ∴()()()2441f x x f x +=-++=所以[]6,2x ∈--时()f x 的表达式为()f x =()241x -++练习1 设函数()f x 是定义域R 上的偶函数，且(2)(4)f x f x +=-恒成立，已知[1,2]x ∈-时，()223f x x =-+求[]5,8x ∈时()f x 的表达式例5 定义在R 上的偶函数()f x 在区间(),0-∞上单调递增，且有()()2221321f a a f a ++<-+ 求a 的取值围。
解：Q 2217212048a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，22123213033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，且()f x 为偶函数，且在上(),0-∞单调递增，()f x ∴在()0,+∞上为减函数，∴221a a ++>2321a -+⇒03a <<所以a 的取值围是()0,3练习1 定义在()1,1-上的奇函数()f x 为减函数，且()()2110f a f a -+-<，数a 的取值围练习2 定义在[]2,2-上的偶函数()g x ，当0x ≥时，()g x 为减函数，若()()1g m g m -<成立，求m 的取值围.综合练习1.判断函数59++=x x y 的奇偶性2.求下列函数的单调区间(1) 212y x x =--; (2)2123y x x =-- ； （3）()()()22312x f x x x x ≥=-+<⎪⎩3函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是4.若函数()f x 在区间33,2a a ⎡⎤-⎣⎦上是奇函数，则a=( )A.-3或1 B 。
3或-1 C 1 D -3 已知函数()f x =，则它是（ ）A 奇函数B 偶函数C 即是奇函数又是偶函数D 既不是奇函数又不是偶函数 5．判断下列函数的奇偶性（1）()()213f x x x =-≤≤ （2）()()()()100010x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩ 6.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A.(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<<7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 28.已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈[1，＋∞)（1）当a =21时利用函数单调性的定义判断其单调性，并求其值域． （2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0 恒成立，数a 的取值围．。