2004年高考重庆卷（理工类）数学试题
本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟.
第Ⅰ部分（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那幺n 次独立重复试验中恰好发
生k 次的概率k n k
k n n P P C k P --=)1()(
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数)23(log 2
1-=x y 的定义域是（ ）
A ．),1[+∞
B ．),32(+∞
C ． ]1,32[
D ．]1,3
2(
2.设复数12Z i =+, 则22Z Z -= ( )
A –3
B 3
C -3i
D 3i 3.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为：（ ） A 2 B 2
2
C 1
D 2
4．不等式2
21
x x +
>+的解集是：（ ） A (1,0)(1,)-+∞ B (,1)(0,1)-∞-
C (1,0)(0,1)-
D (,1)(1,)-∞-+∞
5．sin163sin 223sin 253sin313+= ( )
A 12-
B 12
C 32-
D 3
2
6．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为：
（ ）
A 2
B 4
C 6
D 12 7．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条
件是：（ ）
A 0a <
B 0a >
C 1a <-
D 1a > 8．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，
4,2,PA PB ==则AB 的长为：（ ）
A B C A B C A B C A
B C P P P
P
A 23
B 25
C 27
D 42
9． 若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n
项和0n S >成立的最大自然数n 是：（ ）
A 4005
B 4006
C 4007
D 4008
10．已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲
线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( )
A 43
B 53
C 2
D 73
11．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ）
A 110
B 120
C 140
D 1
120
12．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的面积与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成图形可能是：（ ）
第Ⅱ部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =
14．曲线2311
2224
y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______（用幅度数作答）
15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为1
2
的
半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半
圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..P n …,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ______n x S →∞
=
16．对任意实数
K ，直线：y kx b =+与椭圆：32cos (02)14sin x y θ
θπθ
⎧=+⎪≤≤⎨=+⎪⎩恰有
一个公共点，则b 取值范围是_______________
三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
17．（本小题满分12分）
求函数x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=的取小正周期和取小值；并写出该函数
在[0,]π上的单调递增区间
18．（本小题满分12分）
设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为34，遇到红灯（禁止通行）的概率为1
4
假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求： （1）ξ的概率的分布列及期望E ξ; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率
P 1 P 2
P 3
P 4
Y 19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形，
,,//,PA ABCD AE PD EF CD AM EF ⊥⊥=底面
(1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；
(2) 若3PA AB =,求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值
20．（本小题满分12分）
设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->
(1) 求导数/()f x ; 并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ; (2) 若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围
21．（本小题满分12分）
设0p >是一常数，过点(2,0)Q p 的直线与抛物线22y px =交于相异两点
A 、
B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）试证抛物线顶点在圆H 的圆
周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程
22．（本小题满分14分）
设数列
{}
n a 满足
111
2,,(1,2,3.......)n n n
a a a n a +==+
= (1) 证明21n a n >+对一切正整数n 成立；
令,(1,2,3......)n n a b n n
=
=,判断1n n b b +与的大小，并说明理由
B
C D
A P
M F
E
x y
O Q(2p,0)
H B
A。