高三函数的性质练习题一、选择题（基础热身）1． 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝ln|x|C ．y ＝1x 2D ．y ＝cosx 2． 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋2f(3)，f(－1)＝2，则f(2011)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．43．函数f(x)＝2x x ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是( ) A.43，1 B ．1,0 C.43，23 D ．1，234． 若函数f(x)＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( ) A.12 B.23 C.34 D ．1能力提升5． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3)x ＋5(x ≤1)，2a x(x >1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(0,2) D ．(0,2]6． 函数y ＝f(x)与y ＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x ，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)·g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝1)()(2-x g x f ＋f(x)的奇偶性为( ) A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数7． 已知函数f(x)＝a x ＋log a x(a ＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14 C ．2 D ．48．已知关于x 的函数y ＝log a (2－ax)在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)9． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx (0≤x ≤1)，log 2 010x (x >1)，若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1,2 010)B ．(1,2 011)C ．(2,2 011)D ．[2,2 011]二、填空题10．函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x ＋2)＝)(1x f ，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝________. 11．f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f )43(++x x 的所有x 之和为________．12． 函数f(x)的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2)，则称函数f(x)为定义域D 上的非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0，②f(1－x)＋f(x)＝1，③f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3x ＝12f(x)，则f ⎪⎭⎫ ⎝⎛31＋f ⎪⎭⎫ ⎝⎛125的值为________． 13．已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意的正数d ，都有f(x ＋d)<f(x)，则满足f(1－a)<f(a －1)的a 的取值范围是________．三解答题14．(10分) 已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．15．(13分) 已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.(1)求f(9)，f(27)的值；(2)解不等式：f(x)＋f(x －8)<2.16．(12分)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k ∈Z}，且对于定义域内的任何x 、y ，有f(x －y)＝)()(1)()(x f y f y f x f -+⋅成立，且f(a)＝1(a 为正常数)，当0<x<2a 时，f(x)>0. (1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)为周期函数；(3)求f(x)在[2a,3a]上的最小值和最大值．17.已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立，证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数； （2）函数()y f x =是奇函数。

18．设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值。

函数的性质参考答案【基础热身】1．B [解析] y ＝x 3不是偶函数；y ＝1x 2在(0，＋∞)上单调递减；y ＝cos x 在(0，＋∞)上有增有减．2．B [解析] 令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋2f (3)，因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，所以f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )，2011＝6×335＋1，所以f (2011)＝f (1)＝f (－1)＝2.3．A [解析] ∵f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1， 又f (x )在[1,2]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1，f (x )max ＝f (2)＝43，故选A. 4．A [解析] 法一：由已知得f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )定义域关于原点对称，由于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12且x ≠a ，知a ＝12，故选A. 法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，又f (x )＝x 2x 2＋(1－2a )x －a， 则－x 2x 2－(1－2a )x －a ＝－x 2x 2＋(1－2a )x －a在函数的定义域内恒成立，可得a ＝12.【能力提升】5．D [解析] ∵f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －3<0，2a >0，(a －3)×1＋5≥2a 1，解得0<a ≤2.6．B [解析] ∵f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵g (x )·g (－x )＝1，∴g (－x )＝1g (x ). ∵F (x )＝2f (x )g (x )－1＋f (x )＝f (x )⎣⎡⎦⎤2g (x )－1＋1 ＝f (x )·g (x )＋1g (x )－1. ∴F (－x )＝f (－x )·g (－x )＋1g (－x )－1＝－f (x )·1g (x )＋11g (x )－1＝－f (x )·1＋g (x )g (x )1－g (x )g (x )＝f (x )·g (x )＋1g (x )－1＝F (x )． ∴F (x )为偶函数．7．C [解析] ∵函数f (x )＝a x ＋log a x (a ＞0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性，因此最大值与最小值之和为a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2，故选C.8．B [解析] 依题意a ＞0且a ≠1，所以2－ax 在[0,1]上递减，因此⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0， 解得1＜a ＜2，故选B. 9．C [解析] 因为函数f (x )＝sinπx (0≤x ≤1)的图象关于直线x ＝12对称，不妨令a <b <c ，由f (a )＝f (b )可得a ＋b 2＝12，即a ＋b ＝1，又因为0≤sinπx ≤1，所以0<log 2 010c <1，解得1<c <2 010，所以2<a ＋b ＋c <2 011，故选C.10．－15 [解析] ∵f (5)＝1f (3)＝11f (1)＝f (1)＝－5， ∴f [f (5)]＝f (－5)＝f (－1)＝1f (－1＋2)＝－15. 11．－8 [解析] 依题意当满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4时，即①x ＝x ＋3x ＋4时，得x 2＋3x －3＝0，此时x 1＋x 2＝－3.②－x ＝x ＋3x ＋4时，得x 2＋5x ＋3＝0，∴x 3＋x 4＝－5.∴满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为－3＋(－5)＝－8.12．1 [解析] 由f (0)＝0，f (1－x )＋f (x )＝1，f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )，得f (1)＝1，f ⎝⎛⎭⎫13＝12，f ⎝⎛⎭⎫23＝12，因为13<512<23，所以f ⎝⎛⎭⎫13≤f ⎝⎛⎭⎫512≤f ⎝⎛⎭⎫23，所以f ⎝⎛⎭⎫512＝12，所以f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫512＝1. 13．(－∞，1) [解析] 因为d >0时，f (x ＋d )<f (x )，所以函数y ＝f (x )是减函数，所以由f (1－a )<f (a －1)得1－a >a －1，解得a <1，所以a 的取值范围是(－∞，1)．14．[解答] (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a＝0， 解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1， 由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．由f (x )为奇函数，得不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )， 又f (x )为减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k ，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13. 15．[解答] (1)f (9)＝f (3)＋f (3)＝2，f (27)＝f (9)＋f (3)＝3.(2)∵f (x )＋f (x －8)＝f [x (x －8)]<f (9)，又函数f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)<9，解得8<x <9.即原不等式的解集为{x |8<x <9}．【难点突破】16．[解答] (1)∵定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }关于原点对称，又f (－x )＝f [(a －x )－a ]＝f (a －x )·f (a )＋1f (a )－f (a －x )＝1＋f (a －x )1－f (a －x )＝1＋f (a )·f (x )＋1f (x )－f (a )1－f (a )·f (x )＋1f (x )－f (a )＝1＋f (x )＋1f (x )－11－1＋f (x )f (x )－1＝2f (x )－2＝－f (x )， 对于定义域内的每个x 值都成立，∴f (x )为奇函数．(2)证明：∵f (x －a )＝f (x )＋11－f (x )，∴f (x －2a )＝f (x －a )＋11－f (x －a )＝1＋f (x )＋11－f (x )1－f (x )＋11－f (x )＝－1f (x )， ∴f (x －4a )＝－1f (x －2a )＝11f (x )＝f (x )， ∴函数f (x )为周期函数． (3)设2a <x <3a ，则0<x －2a <a ，∴由(2)知f (x －2a )＝－1f (x )>0，∴f (x )<0， 设2a <x 1<x 2<3a ，则0<x 2－x 1<a ，∴f (x 1)<0，f (x 2)<0，f (x 2－x 1)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)·f (x 2)＋1f (x 2－x 1)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[2a,3a ]上单调递减，又f (2a )＝f (a ＋a )＝f [a －(－a )]＝f (a )·f (－a )＋1f (－a )－f (a )＝1－f 2(a )－2f (a )＝0，f (3a )＝f (2a ＋a )＝f [2a －(－a )]＝f (2a )·f (－a )＋1f (－a )－f (2a )＝1－f (a )＝－1. ∴f (x )在[2a,3a ]上的最小值为－1，最大值为0.17．证明：(1)设12x x >，则120x x ->，而()()()f a b f a f b +=+∴11221222()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=-+<∴函数()y f x =是R 上的减函数;(2)由()()()f a b f a f b +=+得()()()f x x f x f x -=+- 即()()(0)f x f x f +-=，而(0)0f =∴()()f x f x -=-，即函数()y f x =是奇函数。