张喜林制3.2.1 对数及其运算教材知识检索考点知识清单1．对数的概念(1) -般地，如果),10(=/>=a a N a x 且那么 的对数，记作 ，其中a 叫做 ，N 叫做(2)由对数的定义可知：=ya alog(3)对数N a log （a>0且a ≠1）的性质：①零和负数 ，即N .=1log a ② .=a a log ③ .(4)特殊对数：以10为底的对数叫做____ ，记作 ，以e 为底的对数叫做 ，记作____．2．对数的运算性质如果a>0且,0,0,1>>=/N M a 则有：=⋅)(log )1(N M a=NMalog )2( =n a M log )3( 3．对数的换底公式=N b log =m a b n log ; =/=/>>b a b a ,1,0,0()0,1=/n要点核心解读1．理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化理解对数的概念要把握以下几点：(1)当a>0且1=/a 时，,0>b α这时指数式N a b =才可以写成对数式.log N b a =因此，对数的底数要大于零且不等于l ，真数要大于零，即使N n log 有意义的条件是底数a >0且,1=/a 真数N>o ．(2)对数N a log 的意义是底数为a ，幂为N 的幂指数，因此，求N a log 的值即为已知底数a 和幂N 求指数的问题．(3)指数式N a b=和对数式a b log =N 之间等价，即⇔=N a b.log N b a =这既是指数式和对数式之间互化的依据，也是指数问题转化为对数问题和对数问题转化为指数问题的出发点．对数恒等式)0,1,0(>=/>=N a a N aN kg a 是由对数的概念直接得到的，但在应用时容易出现错误，要注意当幂的底数和对数的底数相同时才可以运用对数恒等式，同学们在应用时就往往不注意这一点，出现如,,5255log =这类错误．2．掌握对数的运算性质及其应用对数的运算性质有三方面，在前面我们已经给出，它是我们对一个对数式进行运算、变形的主要依据．要掌握它们需注意如下几点：第一，要会推导，要求每一条运算性质都要会证明，通过推导加深对对数概念的理解和对数运算性质的理解，掌握对数运算性质中三个公式的特征，以防止乱造公式，例如：式子=±)(log N M a ,log log log ,log log )(log ,log log NM N M N M N M N M a a aa a a a a =⋅=⋅± n a n a M M )(log log =都是错误的；第二，要注意对数运算性质成立的条件，也就是要把握各个字母的取值范围：,0,1,0>=/>M a a .0>N 例如，)]3)(2[(log 2--是存在的，但)2(log 2-和)3(log 2-却都不存在，因此不能得出=-⋅-)]3()2[(log 2),3(log )2(log 22-+-再如，2)10lg(-是存在的，但是)10lg(-却没有意义，因此不能得出);10lg(2)10lg(2-=-第三，由于对数的运算性质是三个公式，因此在应用时我们不仅要掌握公式的“正用”，还要掌握公式的“逆用”． 3．注意几个恒等式及其应用恒等式：,log N aNa =换底公式,log log log bN N a a b =及=n a b m log ⋅=a b b m n b a a log 1log ,log 这几个公式在解题过程中应注意灵活运用．典例分类剖析考点1对数的基本运算[例1](1)求下列各式中的x ．;2327log =x ① ;32log 2-=x ② ;2)223(log -=+x ③ .16log 21=x ④ (2)求下列各式的值．;343log 21① 2231log )12(+-②[解析] (1)①由,272,2327log 23==x x 得.9327232===∴x②由,32log 2-=x 得⋅==∴=-2221,233232x x③由,2)223(log -=+x 得,2232-=+x.12)223(21-=-+=∴x④由,16121og x =得,16)21(=x即.4,224-=∴=-x x(2)①方法一：原式=.43)3(43log 43log 21==方法二：原式=.4333334log 2log 223log=== =+=+=+---121log )12(1log 2231log )12(2)12()12(②.1)12(log12=--[点拨]在运算中要注意同底的指数与对数的互化，并灵活运用定义、性质和运算法则． 母题迁移 1．解下列方程：);10lg(215lg )3lg (lg 21)1(--=-x x ;2log 2.1)2(10=+x gx x .1)132)(1log()3(22=+--x x x考点2 对数式的求值、化简与证明[例2]求值：;142log 2112log 487log )1(222--+ ;25lg 50lg 2lg )2)(lg 2(2+⋅+ ⋅+⋅+)3log 31()212)(log 3(8493og og[解析] (1)原式=2log 42log 12log 487log 2222--+ ⋅-===⨯⨯⨯=-232log 221log 24248127log 23.222(2)原式=.2100lg 25lg 2lg 225lg )50lg 21(2lg ==+=++g(3)原式=⋅==+⋅+452lg 63lg 5.3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg ()3lg 22lg 3lg 2lg ([点拨] 对数运算中常常会反用对数法则，以达到化简的目的，有时出现不同底的对数，首先应化为同底的对数．[例3](1)设n m a a a n m +==2,3log ,2log 求的值． (2)已知b a b a -==2100,310,210、求的值．[解析] (1).3,,3log .2,2log =⋅=-=∴=n a m a a n x a m 于是.1232.222=⨯==+n m nm a a a⋅=∴==∴=3lg ,3102lg ,210)2(b a b a 又于是,916)34()1010(10100223lg 4lg )3lg 4(lg 22==÷⋅==--ba或⋅======---91632)10()10(101010)10(10024242424222b a b a ba ba bu [点拨]在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．本题中用到了对数的恒等式：.log N aNa =母题迁移 2．求下列各式的值．;14log 51log 2log 235log )1(5555--+ .4.1]1812log )311)[(2(66626og og og ÷⋅+- 考点3换底公式的应用[例4] 已知.45log ,518,9log 3618求⋅==ba[解析] 已知条件与所求对数的底是不相同的，因此考虑应用换底公式．解法一：.5log ,518,9log 1818b a b =∴==于是=++=⨯⨯==2115log 9log )218(1)59(log 36145log 45log 1818181818181836og og og ⋅-+=++a ba b a 2918log 118 解法二：.5log ,518,9log 1818b a b =∴==⋅ 于是⋅-+=-+=⨯=a ba og 29118log 25log 9log 918log )59(log 45log 181818182181836 [点拨] 本题还有其他方法．这里，都是把指数式518=b改写为对数式，再把所求对数通过换底公式换成和它相同底的对数，以便利用已知条件和对数的性质求值．母题迁移3．已知.15log ,5log ,9log 36.1818求b a == 考点4对数、指数式的综合运用[例5]设x ，y ， z 均为正数，且.643zyx== (1)试求x ，y ，z 之间的关系；(2)求使py x =2成立，且与p 最近的正整数（即求与p 的差的绝对值最小的正整数）． [解析]设,643t y x ===τ由x>0知，t>l ．故取以t 为底的对数，可得.16log 4log 3log ===⋅t t t z y x⋅===∴6log 1,4log 1,3log 1t t t z y x ,214log 212log 3log 6log 11)1(yx z l t l t ===-=- ∴ x ，y ，z 之间的关系为⋅=-yx z 2111 .16log 4log 24log 3122)2(33=⋅=⋅==l t og y x p 由,27169<<得,27log 16log 9log 333<<从而.32<<p 而,916log 9log 16log 2333=-=-p ⋅=-=-1627log 16log 27log 3333p由⋅>>=÷1627916.12432561627916知 ⋅-=>=-∴p p 31627log 916log 233从而所求正整数为3．[点拨】 由于指数式中底不相同，不易比较指数大小，将其统一转换为对数后就容易比较了．母题迁移4．已知+=+++5log )1(log )4(log 22a a a y x ),10)(12.(g 14=/>-a a xy o 且求yx8log 的值优化分层测训第一课时学业水平测试1．有以下四个命题：①若,3log 5=x 则;15=x ②若,21log 25=x 则,01;55==x og x ③若则④;5=x 若,3log 51-=x 则.125=x 其中真命题的个数为( )．1.A2.B3.C4.D2．使094115.0..=-xog 成立的x 的值为( )． 1.A 1.-B 2.C 2.-D3．化简27log 9的结果为( )．3.A 23.B 32.C 3.D4．若,2log ,5log 351==b a 则b-a==s og 9213.56．把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．;2515)1(2=- ;308)2(=x ;13)3(=x ;29log )4(31-=;10g 1)5(6o x =;31ln )6(=x ⋅=x lg 3)7(高考能力测试 （测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分） 1．若,log 7c b a=则a 、b 、c 之间满足( )．c a b A =7. c a b B 7.= c a b C 7.= a c b D 7.=2．下列各组指数式与对数式互化不正确的是( )．38log 82.23==与A 3131log 3127.2731-==-与B 5)32(log 32)2.()2(5=--=--与C 01lg 110.0==与D 3．已知⎩⎨⎧>≤+=),0(log ),0()3()(3x x x x f x f 则)9(-f 等于( )．1.-A 0.B 1.C 3.D4．有以下四个结论：;0)10lg(lg =① ;0)2lg(log 2=② ;10,lg 10==x x 则③若 .3,lg 310==x x 则④若其中正确的是( )．①③.A ②④.B ①②.C ③④.D5．在)5(log )2(a b a -=-中，实数a 的取值范围是( )．2,5.<⋅>a a A 或 52.<<a B 5332.<<<<a a C ，或 43.<<a D6．已知,0)](log [log log 237=x 那么21-x等于( )．31.A 321.B 221.C 331.D 7．若,)4(x f x =则=)2(f ( )24.A 42.B 21.C 2log 4⋅D8．下列指数式与对数式互化不正确的是( )．01lg 110.0==与A 3131log 3127.2731-==-与B 3929log 213==⋅与C 5515log 15==⋅与D 二、填空题（5分×4= 20分）9．已知,0)14(|8|2=-+-b b a 则=b2log a==+⋅+x x x x 则,1)3(log 102)3(11.已知),1,0,0(=/>>=c b a c ab 且,log x b c =试用x 表示=a c log 12.满足条件x x=-)21(log 2的实数x 的值为 三、解答题（10分×4 =40分）13．已知⎪⎩⎪⎨⎧⋅--∞∈--⋅∈+∞∈=+]1,(2],0,1(),,0(log )(322x x xx xx f x 求)))32(((--f f f 的值．14.求使式子)273129(log 3+⋅-xx 有意义的x 的取值范围．15.已知n m a a a n m 32,3log ,2log -==求的值． 16.设,831+=x 求)3444(log 2348++++x x x x 的值．第二课时学业水平测试1．下列等式中，正确的是( )．（其中，,0,1,0>=/>M a a )0>NN M N M A a a a log log )(log +=+⋅ N M N M B a a a log log )(log -=-⋅ NMN M C aa a log log log .= NMN M D aa a log log log =-⋅ 2．若,100025.0,10005.2==y x 则yx 11-等于( )． 2.A 21.B 3.C 31.D3．设,2log 3a =则=18log 3（ ）a A 6. a B 3. a C 2. a D +2.=-⋅+)223(log 4)12(5．满足等式2lg )2lg()1lg(=-+-x x 的实数x= 6．(1)求2118g 1)31(6626og o g ⋅+α的值； (2)计算06.0lg 61lg)2lg 3()1000lg 8(lg 5lg 2++++的值． 高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（5分×8 =40分）1．如果,lg 5lg 3lg lg c b a x -+=那么( )．c b a x A -+=3. cab x B 53.= 53.c ab x C = 33.c b a x D -+=2．已知,ln ln a y x =-则33)2ln()2ln(y x -等于( )．2a A ⋅ a B . a C 23. a D 3. 3．已知,lg )(7x x f =则=)2(f （ ）2lg .A 128lg ⋅B 1281lg⋅C 2lg 71.D 4．化简)lg(lg 2)lg(lg 2100a a +的结果为( )．21.A 1.B 2.C 4.D 5．已知,10000112.0,10002.11.==n m则nm 11-的值为( )．1.A2.B3.C4.D6．若,161log 8g 14log 4843og m o =⋅⋅则m=（ ）21.A 9.B 18.C 27.D 7．如果方程03lg 2lg .lg )3lg 2(lg lg 2=⋅+++x x 的两根为,21x x 、那么21x x ⋅的值为( )．3lg 2lg ⋅⋅A 3lg 2lg .+B 61.C 6.-D8．（2011届武昌区11月调考题）已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+,1,,1,122x ax x x x 若,4))0((a f f =则实数a 等于( )．21.A 54.B 2.C 9.D 二、填空题（5分×4 =20分）=+⋅+⋅2lg 5lg 2lg 50lg 9210．已知,3lg ,2lg b a ==用a ，b 表示=54lg 1l.已知),2lg(2lg lg y x y x -=+则=yx2log12. (2011年四川高考题)计算=÷--21100)25lg 41(lg 三、解答题（10分×4 =40分）13.解下列方程：);1(log 2)1(log )1(22+-=-x x.log 1)10(log )2(323x x +=-14.设y x a a ,,1,0=/>满足.3log log 3log =-+y a x x x a(1)用x a log 表示;log y a(2)当x 取何值时，y a log 取得最小值？15.已知ab b a b a 3,5lg 2lg 35lg 2lg 3333++⋅++=+求的值．16.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且关于x 的二次方程+-x x 2201lg 2)lg(22=+--a b c 有等根，试判断△ABC 的形状．第三课时学业水平测试1．若,10log 9log 8log 7g 16log 98765⋅⋅⋅⋅=o y 则有( )．)1,0(∈⋅y A )2,1(∈⋅y B )3,2(∈⋅y C 1=⋅y D2．已知=+=+33ln ln ,ln ln y x a y x 则（ ）2.a A a B . 23.a C a D 3. 3．若=-=6log 28log ,2933则a （ ）221.-a A 22.-a B 210.-a C 246.a a D - 4．已知,7log ,5log 39b a ==则=9log 355．已知,12+=x 则=--)6.(g 134x x o6．(1)求证：;log 1log b nb a a n = (2)已知,3log 2a =求.318log 22高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．设5lg ,5log ,3log 38则q p ==等于( )．22q p A +⋅ )23(51.q p B + pqpq C 313.+ pq D ⋅ 2．若,0)].(log [log 1)](log 1[log 534543==b og a og 则ba 等于( )． 4.A 5.B 3.C 51.D 3．2)25.0(lg 2512)12(lg g 1593--+og o 等于( )． 2lg 21.+A 2lg 21.--B 3.C 3-D4．式子31log 131log 15121+的值所属的区间是( )．)1,2(--⋅A )2,1.(B )3,2(⋅C )2,.(--∞D5．已知函数,)(,11lg )(b a f xx x f =+-=若则=-)(a f （ ）b A . b B -. b C 1. bD 1.- 6．下列各式正确的是( )．5lg 3lg 2lg .=⋅A 9lg )3(lg 2=⋅Bb a a n m b n m C =+=+则若,log .b a a og b b o a D =+=+则若,1log .g 1log .43437．若),10(2=/>=y y y x 且则( )．y x A =⋅2log x y B =⋅2log 2log =⋅y C x 2log =⋅x D y8．已知)21(,)(log 2f x x f 则=等于( )． 41.A 21.B 22.C 2.D 二、填空题（5分×4 =20分）9．若,241,18g .1n og m o a a ==则用m 、n 表示=231a og 10．设,3log 2=x 则=----xx xx 222233 11.设,643),,0(c b a c b a ==+∞∈且、、则a 、b 、c 之间的关系式为12.（2008年上海高考题）=+25log 20lg 100三、解答题（10分×4 =40分）13．化简⋅+⋅+)2log 2(log )3log 3g 1(9384o14．化简：].4)22(4[log 525log 3421212353-⨯⨯og15．计算：;58log 932log 2log 2)1(35log 2333-+- ⋅-+2.1110lg 38lg 27lg )2(g16．(1)求证：;log log log c .ab bc a = (2)若,3lg ,5lg n m ==试用m 、n 表示.8log 30。