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§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
客观世界中许多现象都具有偶然的性质，称为偶然现象 现象的偶然性总是伴随着他的必然性一同出现的，偶然性是 必然性的表现形式。 概率论与数理统计是一门研究偶然现象的规律性的学科
有一类随机试验在今后要常遇到。这类随机试验只有两个可 能的结果，非此即彼，没有第三种结果出现的可能。这类随 机试验称作“伯努利试验”。
2
n2
p(n1 n n2 )
n1
1
e dn
(
nm)2 2 2
2
14
实际使用时，通常利用现成的高斯分布积分数值表，表格中给出了 对应于z的函数值：
(z)
1
z z2
e 2 dz
2 0
其中z的表达式为（此变量置换又称为标准化）
于是得：
z n m , dz dn
E（n）的离散程度。
方差的的开方根值称均方根差，用σ表示，对于二项式分布，对应的期 望值与方差分别为：
m N0 p N0 (1 et )
2 N0 p(1 p) N0 (1 et )et me t
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§4.1 核衰变数和计数的统计分布
1. 二项式分布
讨论：若λt«1，上式简化为：
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§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
放射性核衰变所服从的三种最基本的分布规律： 二项式分布 泊松分布 高斯分布
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§4.1 核衰变数和计数的统计分布
1. 二项式分布
放射性原子核的衰变可以看成是数理统计中的伯努利试验问 题;在t时间内发生核衰变数为n的概率为:
即：
p(n)
N0!
pn (1 p)N0 n
整数值，对高斯分布来说，n可以取整数，也可以是连续型随
机变数。
n1/ 2
p(n) n1/ 2
1
e dn
(
nm) 2 2
2
2
原子核衰变数在某一数值区间【n1，n2】内的概率：
n2 1/ 2
p(n1 n n2 ) n1 1/ 2
1
(nm)2
e 2 2 dn
放射性测量中的统计学
1. 核衰变数和计数的统计分布 2. 放射性测量的统计误差
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放射性测量中的统计学
放射性事件与核事件，例如核衰变、带电粒子在介 质中消耗能量产生电子－离子对、γ 射线或中子与 物质相互作用产生带电粒子等，在一定时间间隔内 事件发生的数目和某一事件发生能够的时刻都是随 机的，即具有统计涨落性。
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§4.1 核衰变数和计数的统计分布
在放射性测量中，即使所有实验条件都是稳定的，如源的放 射性活度、源的位置、探测器的工作电压等都保持不变，在 相同时间内对同一对象进行多次测量，每次测到的计数并不 完全相同，而是围绕某个平均值上下涨落，这种现象称为放 射性计数的统计涨落。
这种涨落不是有观测者的主观因素造成的，是放射性原子核 衰变的随机性引起的。在放射性核衰变中，N0个原子核在某 个事件间隔内衰变的数目n是不确定的，这就引起了放射性 测量计数的涨落，它服从统计分布规律。
同样：假定在t＝0时刻有N0个不稳定的原子核，在某一时间t内将有一部 分核发生衰变。考虑一个原子核的情形得到：一个放射性原子核经过t时 间后未发生衰变的概率为e-λt，任何一个核在t时间内衰变的几率为：
p 1 et
未发生率变的概率是：
q 1 p et
显然：
pq 1
这样的情形服从二项n)
N0!
(1 et )n (et )N0 n
(N0 n)!n!
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§4.1 核衰变数和计数的统计分布
1. 二项式分布
一般的，对于任何一种分布有两个最重要的数字特征。 数学期望值E（n）:（简称期望值，在物理中有时也称平均值用m表示），
它表示随机变数n取值的平均位置； 方差D（n）：又常用σ2 表示，它表示随机变数n取值相对于期望值
在m数值较大时：
2 m 或 ＝ m
(m n) n n
即σ可以用任意一次观测到的衰变核数代替其平均值 来进行计算
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§4.1. 核衰变数和计数的统计分布
2. 泊松分布
若N0很大，且λt«1 ，
N0! (N0 n)!

N0 (N0
1)(N0

2) ( N 0

n
1)

N
n 0
(1 p)N0 n (e p )N0 n eN0 p
注意到m=N0p，就得到：
p(n) N0n pneN0 p mn em
n!
n!
m
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§4.1. 核衰变数和计数的统计分布
3. 高斯分布
高斯分布又称正态分布，当m»1时，二项式分布可以简化为高
斯分布：
p(n)
i
令i ,则t 0，我们有：
lim
t
1

()
t i
i

et
所以一个放射性原子核经过t时间后未发生衰变的概率为e-λ t,那么对于
t＝0时刻的N0个原子核，经过t时间后未发生衰变的原子核数目为：
N N0et
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§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
的概率是：
qt 1 pt 1 t
若将时间t分为许多很短的时间间隔Δ t，则Δt＝t/i，那么该原子核经过
2Δt发生衰变的概率为：
(1 t)(1 t) (1 t)2
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§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
经过t时间后未发生衰变的概率为：
(1 t)i (1 t )i
1
(nm)2
e 2m
2m
1
e
(
nm) 2 2
2
2
其期望值与方差为：
E(n) m
D(n) 2 m
高斯分布是对称的，当m≥20时，泊松分布就可以用高斯
分布来代替。
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§4.1. 核衰变数和计数的统计分布
3. 高斯分布
在二项式分布和泊松分布中，n是离散性随机变数，只限于取
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§4.1 核衰变数和计数的统计分布
核衰变的统计分布
假定在t＝0时刻有N0个不稳定的原子核，在某一时间t内将有一部分核发 生衰变。先考虑一个原子核的情形。假如在某一短时间间隔Δt内放射性
原子核衰变概率pΔt与此原子核过去的历史和现在的环境无关，则pΔt正
比于Δt，因此：
pt t
比例常数λ 是该种放射性核素的特征值，该原子核经过Δ t未发生率变