总结§4.1—§4.3
一、线性表示
1. 向量β可由向量组m ααα ,,21线性表示
⇔存在数m k k k ,,,21 使得，m m k k k αααβ ++=2211 ⇔方程组βααα=++m m x x x 2211有解（即是β=Ax 有解） ⇔
()=m R ααα ,,21()βααα,,,21m R （即是()()β,A R A R =）
2. 向量组12,,
l βββ可由向量组m ααα ,,21线性表示⇔()=m R ααα ,,21
()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()(),R A R A B =）
向量组12,,
l βββ可由向量组m ααα ,,21线性表示⇒()12,,
l R βββ≤
()12,,m R ααα（即是()()R B R A ≤） 3. 向量组m ααα ,,21与向量组12,,
l βββ等价⇔()=m R ααα ,,21
()12,,l R βββ=()1212,,,,,m l R αααβββ （即是()()(),R A R B R A B ==）
二、线性相关与线性无关
1. 向量组m ααα ,,21线性相关⇔存在不全为零的数m k k k ,,,21 使得，
.02211=++m m k k k ααα
⇔方程组02211=++m m x x x ααα 有非零解. ⇔0=Ax 有非零解.
⇔()m R m <ααα ,,21
⇔()m A R < 其中()m A ααα ,,21=
2. 向量组m ααα ,,21线性无关⇔如果,02211=++m m k k k ααα 则有
.021====m k k k
⇔方程组02211=++m m x x x ααα 只有零解 ⇔0=Ax 只有零解 ⇔()m R m =ααα ,,21
⇔()m A R = 其中()m A ααα ,,21=
3. 向量组m ααα ,,21，如果()m A ααα ,,21=是方阵，则m ααα ,,21线性相关 （无关）().00≠=⇔A A
4.部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关； 1+n 个n 维向量线性相关.
5.向量组m ααα ,,21线性相关⇒其中至少有一个向量能由其余向量线性表示.
6.设向量组m ααα ,,21线性无关，则12,,,m αααβ线性相关⇔β可由向量组
m ααα ,,21线性表示. 三、最大无关组与向量组的秩 1. 最大无关组的两个等价定义：
2. 向量组的秩：向量组的秩等于它的最大无关组所包含的向量个数.
3. 定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，等于它的行向量组的秩.
求法：求向量组m ααα ,,21的秩及其最大无关组，令()m A ααα ,,21=，然后对矩阵A 进行行初等变换，化到行阶梯形，行阶梯形非零行的行数即是A 的秩，也就是向量组m ααα ,,21的秩；同时行阶梯形非零行的首非零元对应于
m ααα ,,21的最大无关组.。