专题函数的周期性一知识点精讲1 .周期函数的定义：对于f (x)定义域内的每一个x ,都存在非零常数T ,使得f(x T) f (x)恒成立，则称函数f (x)具有周期性，T叫做f (x)的一个周期，则kT (k Z,k 0 )也是f (x)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (x)的最小正周期.周期函数的定义域一定是无限集2性质①若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；3•几种特殊的具有周期性的抽象函数:函数y f x满足对定义域内任一实数x (其中a0为常数)(1) f x f:X a，则y f x的周期T a .(2) f x a f x，贝U f x的周期T2a .(3) f x a的周期T2a .，贝U T xf x(4) f x a f x a，贝U f x的周期T2a .(5) f(x a)1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T2a .(6) f(x a) 1 f(x)，则f1 f (x)x的周期T4a数.(7) f(x a) 1 f (x)，则f x1 f(x)的周期T4a .(8)函数y f (x)满足f (a x) f (a x)(a 0), 若f (x)为奇函数，则其周期为T 4a，若f (x)为偶函数，则其周期为T 2a .(9)函数y f (x) x R的图象关于直线x a和x b a b都对称，则函数f (x)是以2 b a为周期的周期函数.(10) 函数y f (x) x R的图象关于两点A a, y o > B b, y o a b都对称，则函数f (x)是2 b a为周期的周期函数.(11) 函数y f (x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f (x)是以4 b a为周期的周期函数.(12) f(x a) f(x) f (x-a)，则f (x)的周期T 6a.二典例解析1. 设f(x)是(—a , +s)上的奇函数，f(x+2)= —f(x),当0W x w 1 时，f(x)=x ,则f(7.5)=( )A.0.5B. —0.5C.1.5D. —1.52. 若y=f(2x)的图像关于直线x a和x b(b a)对称，则f(x)的一个周期为( )②若周期函数f(x)的周期为T,则f( x)(0)是周期函数，且周期为2 2的解析式。

6.数列｛a n ｝中印 1卫2 5,a n 2 a n 1 a n ,则 a 2006 ___________________7已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x (0,1)时，f(x 1) x 1.求f (x)在(1,2)上 的解析式。

2. f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数， 且 f(1)0,则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()A . 5B. 4C.3 D . 24. f (x)是偶函数，且 f (0) 993,又 g(x)f (x 1)为奇函数，则f(1992)= ___________B . 2(b a)C .二D . 4(b a)3.已知f(x)在R 上是奇函数满足 f(x 3)f(x), f(1) 2 , 则 f (5)4.已知定义在R 上的奇函数f (x)满足f(x2) f (x)，则f (2008) =例5.已知函数 y f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T 5，函数y f (x)( 1 x 1)是奇函数又知 y f(x)在［0,1］ 上是一 -次函数, 在［1,4］上是二次函数, 且在x 2时函数取 得最小值 5。

①证明：f(1) f (4) 0 ;②求 y f (x),x［1,4］的解析式；③求 y f(x)在［4,9］上9、函数y f (x)定义域为 2 x 6 时，f(x) 2R ,且恒满足f(x 1 x ，22) f (2 x)和 f(6 x) f (6 x)，当求f (x)解析式。

10、已知偶函数y f(x)定义域为0,4上只有三个实根，且一个根是 附参考答案：T 1 : 1 T 2: (1,0) T 3 :11 T 6 :①x ②x421 —(x 8k)2 1 (x 8k) 2T 10 :方程的根为6 4T 9: f(x)T 7 :R ， 4, 且恒满足f (x求方程在区间T 4: y 轴即xT s :②④ (8k 2 x 8k 2)f(2 x)，若方程 f (x)0在8,10中的根。

0 T 5 :①y 轴②(8k 2 x 8k2、02、46810共 9 个根。

2,k Z) 6,k Z)x 1 x 2 x 3 x 4 12 4 88 f(x)的定义域是 R ,且 f(x 2)[1f(x)] 1 f(x),若 f(0) 2008,求f(2008)的值(2009 山东理)10. 定义在R 上的函数f(x)满足 f(x)=log 2(1 x),xf (x 1) f (x山 ，则f2),x 0(2009) 的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2【解析】:由已知得 f( 1) log 2 2 1, f(0) 0, f(1) f(0) f( 1) 1,f(2) f(1) f(0) 1, f(3)f(2)f(1)1 (1) 0,f(4)f(3)f(2)0 ( 1) 1, f (5) f (4) f (3) 1，f(6)f(5)f(4) 0,所以函数 f(x)的值以 6为周期重复性出现 •，所以 f ( 2009) =f ( 5)=1,故选 C.(2009山东理)16.已知定义在 R 上的奇函数f (x)，满足f (x 4) f (x),且在区间［0,2］上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8上有四个不同的根x-i , x 2, x 3, x 4 ,则x-i x 2 x 3 x 4________【解析】：因为定义在R 上的奇函数，满足 f (x4)f(x 8) f (x)所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f (x)在区间［0,2］上是增函数,所 以f(x)在区间［-2,0］上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 8,8上有四个 不同的根x 1,x 2, x 3, x 4,不妨设x-i x 2 x 3 x 4由对称性知 x , x 2 12 x 3 x 44所以9•已知函数f (x)满足f (x 1)1一空，若 f (0)1 f(x)2004，试求 f (2005)。

由f (x)为奇函数，所以函数图象关于直线x 2对称且 f(0) 0,由 f(x 4) f (x)知f(x)，所以 f(x 4) f( x),所以,答案：-8(2009全国一)(11)函数f (x)的定义域为R,若f(x1)与f(x 1)都是奇涵则( D )数，(A) f (x)是偶函数(B) f (x)是奇函数(C) f(x) f(x 2) (D)f(x3)是奇函数解：Q f (x 1)与f(x 1)都是奇函数，f( x 1)f(x 1), f( x1)f(x1), 函数f(x)关于点(1,0)，及点(1,0)对称，函数f(x)是周期T 2[1 ( 1)] 4的周期函数.f( x 1 4) f (x 1 4) , f ( x 3) f (x 3)，即f(x 3)是奇函数。

故选D专题函数对称性一知识点精讲：I函数y f (x)图象本身的对称性(自身对称)若f (x a) f (x b)，贝U f (x)具有周期性；若f(a x) f (b x)，贝U f (x)具有对称性："内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、f (a x) f (b x) y f (x)图象关于直线x (a x) (b x)^_b 对称2 2推论1: f (a x) f (a x)y f (x)的图象关于直线x a对称推论2、f(x) f (2a x)y f (x)的图象关于直线x a对称推论3、f( x)f(2a x)y f (x)的图象关于直线x a对称2、f (a x) f (b x) 2c y f (x)的图象关于点(a b c)对称2，推论1、 f (a x) f (a x)2b y f(x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f(x) f (2a x)2b y f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f( x) f (2a x)2b y f (x)的图象关于点(a,b)对称II 两个函数的图象对称性( 相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、y f(x)与y f ( x)图象关于Y轴对称2、y f(x)与y f( x)图象关于原点对称函数3、函数y f(x)与y f(x)图象关于X 轴对称们的和为12，还有一个根就是 3。

故这5个实根之和为15,正确答案为 C4、函数y f (x)与其反函数y f tx)图象关于直线y X 对称f(x) 2x 丄,则 f (log 2 20)______5解析：y f (x)关于直线x 1对称，f( x)f (2 x)，又 是f(x)奇函数，f( x)f (x),故有f(2 x) f (x),55 4 log 21 T 4,f (log2 20) f (log 2 20 4) f (log 2 才 f (log 2 匚)2 5 4— 15 2、已知函数y f (x)满足f (x) f(2 x)0，则 y f (x)图象关于 对称。

解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知 y f (x )图象关于(1,0)对称 3、 函数y f(x 1)与函数y f(1 x)的图象关于关于 ______________________ 对称。

解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于x 1对称4、 设函数y f (x)的定义域为 R ，且满足f(x 1) f (1 x)，则y f (x)的图象关于 对称。

解析：这是一个函数的对称性, y f (x)的图象关于y 轴即x 0对称5、 设函数y f (x)的定义域为R ，且满足f(x 1) f (1 x)，贝y y f (x 1)的图象关 于 对称。

解析：y f (x)关于直线x 1对称，y f (x 1)是由y f (x)向左平移一个单位得到 的，故y f(x 1)的图象关y 轴对称6、设y f (x)的定义域为R ，且对任意xR ，有f(1 2x) f (2x)，贝U y f (x)关于__________ 对称，y f (2x)图象关于 ________________ 对称，。

1 解析：令t 2x ,则有f(1 t) f (t) y f (t)关于直线t 即y f (x)关于 2111 x 对称，y f(2x)是由纵坐标不变，横坐标变为原来的，y f(2x)关于x -224对称。