§3 二倍角的三角函数
一、教学目标
1、知识与技能
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用。

2、过程与方法
通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导，体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法。

3、情感、态度、价值观
通过学习，使同学对三角函数之间的关系有更深的认识，增强学生逻辑推理和综合分析能力。

二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、教材分析
本节在学习了两角和与差的三角函数的基础上，进一步学习具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和与差的公式的特殊化，又为以后的学习提供了理论基础，因此，对这一节的学下就显得尤为重要。

四、教学流程与教学内容
（一）情景引入
生活中我们常常遇见这样一个现象：对于一件商品，刚出现的时候，价格会非常高，随着时间的推移，商品的价格会逐渐下降，甚至于出现打折的情况，反过来看其实就是原始价格是现在价格的多少倍。

对于这个“倍”字，我们自然而然的想到乘法和除法，对于乘法我们知道就是加法的另外一种运算，例如：6=3+3=3⨯2。

同样的角与角之间也有一个倍数关系，例如： 60度角是30度角的二倍，角α2是角α的二倍。

而对于角都有三角函数值，那么角α2的三角函数值怎样计算呢？由乘法我们可以知道ααα+=2，那么对于角α2就可以转换成角αα+。

首先回顾一下两角和与差的正弦、余弦和正切公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ ； βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ ；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ ； β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手推导并说明过程）
【设计意图】高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解，而对于这一部分知识只有先理解了，后面对于公式的记忆和应用才能信手拈来。

（二）公式推导：
()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；
()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；
()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα
+=+=
=--． 思考：
1、把上述关于α2cos 的式子能否变成只含有αsin 或αcos 形式的式子呢？ 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；
22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．
2、把上述关于αα2sin ,2cos 的式子能否变成只含有αtan 形式的式子呢？
3、二倍角公式中，“倍”字如何理解？
（1）4sin （2）α6cos （3）α
α2tan 12tan 22- （4）2)2cos 2(sin αα+ 【设计意图】让学生深刻理解体会二倍角之间的倍数关系，学生通过自己动手检验公式是否正确，从中让学生自己发现并总结。

（三）例题讲解
例1、 （四）巩固练习
（1）= 15cos 15sin
（2）=-18cos
22π （3）=-8cos 8sin 22π
π
（4）=12cos 24cos 48cos 48sin
8ππππ （5）=-2sin 2cos
44αα （6）
=+--α
αtan 11tan 11
（五）直击高考
.2sin ,2tan ,2cos ,2sin 20,135sin 的值求，＜＜已知ααααπαα=
已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=，求)(x f 的最大值和最小正周期。

（学生在此题的基础上提出其他问题并解决）
【设计意图】：对于例题的讲解以及练习巩固和延伸，例题和练习都很简单，直接利用公式就可以解决，主要目的是帮助学生巩固三角函数倍角本质特征；而对于延伸的一个题目主要是引导学生自主探究三角函数有关问题的思想方法以及三角函数的综合应用。

（六）课堂小结：
（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式
（2）对公式的理解以及灵活运用，注意“倍”角是相对的
（七）课后作业：
1、教材123页 练习1 题
2、4
2、思考：如何得到三倍角公式？
五、 课后反思
教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在二倍角三角函数的理解上。

背景很简单，就是对乘法的理解，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律，这样有利学生的思考。

通过问题引导学生自主探究二倍角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

《课标》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。

在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、解决实际问题,增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。