2 7
3 7
即得基础解系
1
57 1
,
2
47 0
,
0
1
并由此得到通解
x1 2 7 3 7
x2 x3 x4
c1
57 1 0
c2
47 0 1
,
(c1
,
c2
R).
例2 解线性方程组
x1 x2 x3 4 x4 3 x5 0
2
x1 x1
x2 x2
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
4 x3 8 x3
x4 x4
0 0
3 x1 6 x2 2 x3
0
1 2 4 1
解：
A
2 3
4 6
8 2
1 0
1 2 4 1
1
2
0
1 5
初等行变换
0 0
0 0
10 0
3 0
0 0
0 0
1 0
3
10
0
行最简形矩阵对应的方程组为
对应的齐次线性方程组 Ax 0 的解。
3. 解的结构 若 Amn xn1 bm1 (1) 有解，则其通解为 x * 其中 * 是（1）的一个特解，
是（1）对应的齐次线性方程组 Ax 0 的通解。
分析: 1. 证明 x * 是解； 2. 任一解都可以写成 x * 的形式。
例1 : 求解非齐次方程组 x1 5 x2 x3 x4 1
x1 2 x2 x3 3 x4 3 x1 8 x2 x3 x4
3 1
x1 9 x2 3 x3 7 x4 7
解：
1 5 1 1 1
(
A,
b)
1
2
1
3
3
3 8 1 1 1
1
9
3
7
7
1 5 1 1 1
3 x3 3 x3
5 x4 2 x4
5x5 0 x5 0
3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0
解 对系数矩阵施 行初等行变换
1 1 1 4 3
A
2 1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1 1 1 4 3 1 1 1 4 3
~
0 0
1 2
1 2
3 6
1 2
~
0 0
1 0
1 0
3 0
1 0
0 2 2 6 2 0 0 0 0 0
RA r 2, n 5, n r 3,即方程组有无穷多解，
其基础解系中有三个线性无关的解向量.
令
x3 x4
1 0
,
x5 0
0 1, 0
0 0 1
.
代入
x1
x2 x2
x3 4x4 3 x3 3x4 x5
AX 0 的通解是 x k11 k22 L knrnr
例1 求齐次线性方程组 x1 x2 x3 x4 0, 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0, 7 x1 7 x2 3 x3 x4 0
的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简矩 阵，有
线性方程组的理论
AX B
A：m行n列 即有m个方程组n个未知数
问题一：方程组是否有解？
问题二：方程组若有解，解是否唯一？
问题三：若不唯一，如何掌握解的全体？
问题一：方程组是否有解？
* * * *
A, b
0 0
0 0
* 0
*
*
0
0
0
0
AX B
AX b 有解
r(A) r A,b
问题二：方程组若有解，解是否唯一？ AX B
x5
依次得 x1 2, 1 , 2. x2 1 3 1
所以原方程组的一个基础解系为
2
1
2
1
3
1
1
1
,
0
0
2
0
,
1
0
3
0.
0
1
故原方程组的通解为 x k11 k22 k33 .
其中k1 ,k2 ,k3为任意常数 .
练习 : 求下列齐次方程组的通解。
1 1 1 1 0
A,b 1 1 1 3
1
1 1 2 3 1 2
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
0 0 0 0 0
一般结论：
r(A) r A,b n 解唯一
r(A) r A,b n 解不唯一.
且有n-r(A)个自由变量
1. 有解的条件
2. 解的性质
问题三：若不唯一，如何掌握解的全体？
3. 4.
基础解系 解的结构
一. 齐次线性方程组 Amn xn1 0m1
1. 齐次线性方程组有解的条件
定理 ：齐次线性方程组 Amn xn1 0m1有非零解
0
7
2
4
4
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
1
0
3 7
13 13
7
7
0
1
2 7
4 7
4 7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
x1
13 7
3 7
x3
13 7
x4
x2
4 7
2 7
x3
4 7
x4
令 x3 x4 0,
13 7
得
4 7
0
0
又原方程组对应的齐次方程组的通解是
x 1
（2）AX 0 的任一解都可以由 1 ,2 ,L ,nr 线性表示。 则称 1 ,2 ,L ,nr 是 AX 0 的一个基础解系。
定理： 设 A是 m n 矩阵，如果 r( A) r n, 则齐次线性方程组 AX 0 的基础解系存在， 且每个基础解系中含有 n r 个解向量。
4. 解的结构
x1
2 x2
1 5
x4
0
x3
3 10
x4
0
即
x1
x3
2 x2 3
10 x4
1 5
x4
x2 , x4
是自由 未知量。
1
令
x2 x4
1
0
得
则通解为
2
1
1 0 0
令
x2 x4
0 1
得
5
2
0 3
10 1
x k11 k22
(k1 , k2为任意常数）
r A n 且有n-r(A)个自由变量
2. 解的性质 Amn xn1 0m1 (2)
性质：若 1 ,2 是（2）的解， 则 x k11 k22 仍然是（2）的解。
（可推广至有限多个解）
解向量：每一组解都构成一个向量
3. 基础解系
设 1 ,2 ,L ,nr 是 AX 0 的解，满足 （1）1 ,2 ,L ,nr 线性无关；
1 A 2
1 5
1 3
1 2
~
1 0
0 1
2 7 5 7
3 7 4 7,
7 7 3 1 0 0 0
0
便得
x1 x2
2
7 5
7
x3 x3
3
7 4
7
x4 , x4 .
令 x3 1及 0, 对应有 x1 2 7及 3 7,
x4 0 1
x2 5 7 4 7
1 2 1 3 1 2
(
A,
b)
1
2
1
1
3
4
2 4 2 6 3 6
1 2 1 0 5 7
0
0
0
1
2
3
0 0 0 0 1 2
x1 x2 x3 x4 0,
例3
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解 对增广矩阵B施行初等行变换:
3 7
x 3
13 7
x 4
x 2x 4 x
令
x 3
1 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
0
x4 0 1
2
73
7
4
3
13
得基础解系
1
7 2
7
,
2
7 4
7
1
0
0
1
所以原方程组的通解是 k11 k22 (k1 , k2为任意常数）
例2：求线性方程组的通解
x1 2x2 x3 3x4 x5 2 x1 2x2 x3 x4 3x5 4 2x1 4x2 2x3 6x4 3x5 6
二. 非齐次性线性方程组 Amn xn1 bm1 (1)
1. 有解的条件
定理：非齐次线性方程组 Amn xn1 bm1 有解
r A r A,b 并且，当 r A r A,b n 时，有唯一解；
当 r A r A,b n 时，有无穷多解。
2. 解的性质
性质： 1 ,2 是Amn xn1 bm1 的解，则 1 2 是