⎧a ⋅ n = a cos a, n = hd ⎪ ⎪ ⎨b ⋅ n = b cos b, n = kd ⎪ ⎪c ⋅ n = c cos c, n = ld ⎩
于是有
( ) ( ) ( )
n=h
d d d i+k i+l i a b c
(1)
其中 i, k , l 分别是 a, b, c 三个坐标轴的单位矢量，面晶列 [ hkl ] 的方向矢量为
⎧ a1 cos a1 , n = h1d ⎪ ⎪ ⎨ a2 cos a 2 , n = h2 d ⎪ ⎪ a3 cos a 3 , n = h3 d ⎩
( ( (
) ) )
(1 − 10a )
1.3 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层 的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.
2a / 2 .根据同族晶面族的性质，周期最小的晶列处于（111）晶面内。
1.16 对晶体做结构分析时，为什么不使用可见光？ 解答：固体物理学》式（1-39）布拉格反射公式 2d h1h2 h3 sin θ = nλ
(1 − 39 ) ，当入射波长一定时，入射
角只有符合 sin θ = nλ 2d h1h2 h3 时才能发生衍射。由于 sin θ ≤ 1 ，则当 n=1 时，必有 λ ≤ 2 d h1h2 h3 。晶体中 原子间距的数量级为 10 −10 m ，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于 10 −10 m 。但可见光 的波长为 ( 4.0 ∼ 7.6 ) ×10 m ，是晶体中原子间距的 1000 倍。因此，在晶体衍射中，不能用可见光。
( )( )
K h • ua + vb + wc = h1 a ∗ + h2 b∗ + h3 c∗ • ua + vb + wc = 0
因为 a • a = b • b = c • c = 2π 得 h1u + h2 v + h3 w = 0 同理有
∗ ∗ ∗
(
) (
)(
)
′v + h3 ′w = 0 h1′u + h2 ′′v + h3 ′′w = 0 h1′′ u + h2
1.11 面心立方和体心立方晶格中原子线密度最大的是哪个方向？ 解答：参考王矜奉 1.2.11 面间距最大的晶面上的格点 最密， 格点最密的线一定分布在 格点最密的面上。 根据《固体物理学》习题 1.12，面心立方晶格中格点面密 度最大的面是面指数为（111） 的晶面， 所以面心立方晶格中原 子线密度最大的方向是晶面 （111）内如图所示，最小的晶 列周期为 2a / 2 . 体心立方晶格中，面密度最大的面是面指数为（110）的晶面，所以面心立方晶格中原子线密度最大的 方向是晶面（110）内如图所示，最小的晶列周期为 3a / 2 . 1.12 二维布喇菲点阵只有五种，试列举并画图表示之。 解答：参考基泰尔 P6 有斜方晶格、正方晶格、长方晶格、六角晶格和有心长方晶格五种。
得
w h1 h2 = ′ u h1′ h2
得
h2 ′ h2
h3 ′ h3
，
v h3 h1 = ′ h1′ u h3
h2 ′ h2
h3 ′ h3
u:v:w =
h2 ′ h2
h3 h3 h1 h1 h2 1 0 0 − 2 −2 1 = 1: 2 :1 : : : : = ′ h3 ′ h1′ h1′ h2 ′ 1 1 1 − 1 −1 1 h3
( )( )
h1
h2
h3
−2 1 0
′ h1′ h2
′ = 0 ，而 −1 1 1 = ( −2 ) × (1× 2 − 1× 1) + 1× ⎡ h3 ⎣1× 0 − ( −1) × 2 ⎤ ⎦=0
′′ h3 ′′ h1′′ h2
0 1 2
所以晶面 210 、 110 、 ( 012 ) 是属于同一晶带。 （交线为晶带轴，此即为晶带轴的方向指数） ， 三晶面属于同一晶带 [uvw] 其带轴方向的晶列指数是 [uvw] ， 则满足
4
第一章 晶体的结构习题
解答：王矜奉 1.1.8 正格子与倒格子互为倒格子，正格子晶面 ( h 1 , h2 , h3 ) 与倒格式 K h = h1 b1 + h2 b 2 + h3 b3 垂直，则倒格晶面
( l1l2l3 ) 与正格矢 Rl = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3 正交，即晶列 [l1l2l3 ] 与倒格面 ( l1l2l3 ) 垂直。
且 a1 ≠ a2 , ϕ .13 具有 4 度象轴而没有 4 度旋转对称轴的晶体，有没有对称中心？举例说明。 解答： 1.14 如晶体中存在两个相互交角为Л/4 的对称面，试问这两个对称面的交线是几度旋转对称轴？ 解答： 1.15 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大？该晶列在那些晶面内？ 解答：参考王矜奉 1.1.12 周期最小的晶列一定在原子面密度最大的晶面内。若以密堆积模型，则原子密度 最的晶面就是密排面。如《固体物理学》图 1-9 所示，可知密勒指数（111）[可以 证明原胞坐标系中的面指数也为(111)]是一个密排面晶面族，最小的晶列周期为
1.7 在 立 方 晶 系 中 ， 晶 列 hkl 垂 直 于 同 指 数 的 晶 面 （ hkl ） 。这个结论对别的晶系，例如四方晶系
(α = β = γ =
π
2
, a = b ≠ c ) ，是否成立？
解答：设 d 为晶面族的（hkl）的面间距， n 为法向单位矢量，根据晶面的定义，晶面族（hkl）将 a, b, c 分 别截为 h , k , l 等分，即
n⋅R n⋅R
=
(h
2
+ k2 + l2 )
2
, a = b ≠ c)
h2 k 2 l 2 + 2 + 2 × h2 a 2 + k 2 a 2 + l 2c 2 2 a a c
3
第一章 晶体的结构习题
显然， cos θ ≠ 1 ， 即n与R不平行， 即晶列 hkl 不垂直于同指数的晶面（hkl） 。 1.8 验证晶面 210 、 110 、 ( 012 ) 是否属于同一晶带？若是同一晶带，其带轴方向的晶列指数是什么？ 解答：参考王矜奉 1.1.6；根据习题 1.10，三个晶面属于同一晶带的条件是
4 4 = Vf 4R f / 2
(
)
3
。
在体心晶胞结构的空间体对角线为 4 Rb ，晶胞的边长 ab = 原子数为 nb =
4 Rb ；一个晶胞包含两个原子，单位体积中的 3
2 2 = Vb 4 Rb / 3
(
)
3
。
依题意，在两种晶格变化时设体积的变化可以忽略，即密度相等。 n f = nb 即
( 4R
d 晶列 hkl 垂直于同指数的晶面（hkl） R ， 即n与R平行， a2
d d ⎞ ⎛ d h i + k j + l k ⎟ ⋅ hai + kb j + lck ⎜ n⋅R ⎝ a b c ⎠ = = cos θ = d d d n⋅R h i + k j + l k × hai + kb j + lck a b c
(
)
(h
2
+ k2 + l2 )
(
)
h2 k 2 l 2 + + × h 2 a 2 + k 2b 2 + l 2 c 2 a 2 b2 c2
如果是立方晶系， cos θ = 1 ，表示平行，即晶列 hkl 垂直于同指数的晶面（hkl） 如果不是立方晶系，例如四方晶系 (α = β = γ =
π
cos θ =
2a ，如 C =
a′ a ，则点阵为 fcc；对于一般的 C 值，图（b） = 2 2
是沿 c 轴伸长后的点阵，因此相同的点阵从（a）是体心点阵，从（b）看是面心点阵，本质上相同，都称 为体心四方点阵。 2）类似的底心四方和简单四方是同一种点阵。 3）底心立方不再具有立方对称性。所以不存在。 1.5 许多金属既可以形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积
a1
a1 a2
a2 ϕ
a2
ϕ
a1
（a）斜方晶格， a1 , a2任意，ϕ 任意.
（b）正方晶格，
（c）长方晶格，
a1 = a2 , ϕ = π / 2.
a1 ≠ a2 , ϕ = π / 2.
a1 a2
a2
a1
a2
ϕ a 1
ϕ
（d）六角方晶格，
（e）长方晶格， 左边为原胞，右为晶胞，
5
a1 = a2 , ϕ = 2π / 3.
2）球排成正方形格子 每个正方形的面积 S = a 2 = ( 2 R ) = 4 R 2
2
每个圆的面积 S ′ = π R 2
2
第一章 晶体的结构习题
空间利用率面利用率 ρ S =
S ′ π R2 π = = = S 4R2 4
4 π R3 π V′ 空间利用率体利用率 ρ S = = 32 = = V 4R × 2R 6
第一章 晶体的结构习题
第一章 晶体的结构
思考题 1.1 为什么自然界中大多数固体以晶态形式存在？为什么面指数简单的晶面往往暴露在外表面？ 解答： 在密勒指数（面指数）简单的晶面族中，面间距 d 较大。对于一定的晶格，单位体积内格点数目一定， 因此在晶面间距大的晶面上，格点（原子）的面密度必然大。面间距大的晶面，由于单位表面能量小，容 易在晶体生长过程中显露在外表面，所以面指数简单的晶面往往暴露在外表面。 1.2 任何晶面族中最靠近原点的那个晶面必定通过一个或多个基矢的末端吗？ 解答： 根据《固体物理学》式（1-10a）