习题（一）练习1-1 1、填空题（1）点)5,3,4(-M 到xOy 平面的距离是 ；到Ox 轴的距离是 。

（2）向量{}2,2,2=→a 的模为 ；方向余弦为 。

（3）设点()2,1,0A 、()0,1,1-B ，则向量AB 的坐标表达式为 。

按基本单位向量的分解表达式为 ，两点间的距离为 。

*（4）设向量→a 的方向角有关系式βγ22==a ，则0→a = 。

2、设点()1,2,41M 、()2,0,32M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。

3、求与向量{}6,7,6-=→a 同向的单位向量0→a 及与→a 平行的单位向量。

*4、如果平面上一个四边形的两对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形。

练习1-2 1、填空题（1）设向量→→→→--=k j i a 233,{}1,2,1-=→b ，则=⋅→→b a ；=⨯→→b a ；=⋅-→→b a 3)2( ，=⨯→→b a 2 ；=→→),cos(b a 。

（2）非零向量{}z y x a a a a ,,=→与{}z y x b b b b ,,=→平行的充要条件是 ，垂直的充要条件是 。

（3）设向量{}3,2,1=→a 、{}2,2,2--=→λλλb ，且→→⊥b a ，则常数=λ 。

*（4）设向量→a 、→b 、→c 为单位向量，且→→→→=++0c b a ，则=⋅+⋅+⋅→→→→→→a c c b b a 。

*（5）设2)(=⋅⨯→→→c b a ，则=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+→→→→→c c b b a )()( 。

*（6）设向量→→→→-+=k j i a 2和→→→→+-=k j i b 2为平行四边形的两邻边，则该平行四边形的两条对角线之间的夹角为 。

2、选择题（1）设→a 与→b 均为非零向量，则下列结论正确的是 （ ）（A ）→→→=⨯0b a 是→a 与→b 垂直的充要条件（B ）0=⋅→→b a 是→a 与→b 平行的充要条件（C ）→a 与→b 的对应分量成比例是→a 与→b 平行的充要条件 （D ）若→→=b k a （k 是实数），则0=⋅→→b a*（2）已知→a 与→b 都是非零向量，则｜→→-b a ｜=｜→→+b a ｜的充要条件是 （ ）（A ）→→→=-0b a （B ）→→→=+0b a （C ）0=⋅→→b a （D ）→→→=⨯0b a 3、已知点()2,1,11-M ，()23,3,1M 和()3,1,33M ，求与向量21M M 、32M M 同时垂直的单位向量。

4、已知→→+=k i 3，→→+=k j 3，求OAB ∆的面积。

5、设｜→a ｜3=，｜→b ｜2=，6),(π=→→b a ，求｜)()2(→→→→-⨯+b a b a ｜。

6、已知向量→→→→+-=k j i a 32、→→→→+-=k j i b 3和→→→-=j i c 2，计算： （1）→→→→→→⋅⋅-⋅⋅b c a c b a )()( （2）)()(→→→→+⨯+c b b a*7. 设→a ，→b ，→c 为两两都不平行的非零向量，且→a +→b 与→c 平行， →b +→c 与→a 平行，证明→a +→b +→c =→0。

练习1-3 1、填空题（1）平面2=-+z y x 的法向量可取为 ，直线⎩⎨⎧=+-=-+21z y x z y x 的方向向量可取为 。

（2）过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程为 ，过点()3,0,2-与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程为 。

2、选择题（1）已知平面1=+-z y kx 和平面432=++z y x 垂直，则常数k 为 （ ） （A ）０ （B ）１ （C ）２ （D ）－１（2）直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123z y x z y x 与平面0224=-+-z y x 的关系为 （ ）（A ）平行 （B ）直线在平面内 （C ）垂直相交 （D ）相交但不垂直3、求直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 的点向式及参数式方程。

4、求过点()1,2,1且与直线⎩⎨⎧=-+-=+-+01012:1z y x z y x L 和⎩⎨⎧=+-=+-02:2z y x z y x L 都平行的平面方程。

5、过点()2,1,3-且通过直线12354zy x =+=-的平面方程。

6、已知原点到平面π的距离为１，且π与平面12236-=++z y x 平行，求平面π的方程。

7、求直线⎩⎨⎧=-+=+-112z y x z y x 在平面02=-+z y x 上的投影直线的方程。

练习1-41、填空题（1）球面0242222=++-++z y x z y x 的球心在点 ，半径为 。

（2）在xOy 面上的双曲线369422=-y x ，绕x 轴旋转一周，而形成的旋转曲面方程为 ；绕y 轴旋转一周，生成的旋转面方程为 。

（3）球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影曲线的方程为 。

（4）方程组⎩⎨⎧-=+=3215x y x y 在平面解析几何中表示 ；在空间解析几何中表示 ，方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何中表示 。

2、画下列方程表示的曲面：（1）221y x z ---= （2）22y x z += （3）x y x 222=+ 3、求曲面()4022≤≤+=z y x z 在三个坐标面上的投影图形。

4、求2220y x a z --≤≤与()022>≤+a ax y x 的公共部分在xOy 面上的投影。

参考答案练习1-11、（1）5；34 （2）10；102，102，102（3）{}2,2,1--；→→→--k j i 22；3 （4）⎭⎬⎫⎩⎨⎧0,22,22 或{}1,0,0- 2、2；21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα；3,43,32πππ3、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=→116,117,1160a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-±=±→116,117,1160a4、设四边形为ABCD ，两条对角线AC 、BD 相交于O ，由已知有,,OD BO OC AO ==而OC DO DC OB AO AB +=+=,推得DC AB =，从而DC AB //，k z j y i x OR OQ OP OM ++=++=。

练习1-21、（1）3；{}7,1,5；-18；{}14,2,10；42213 （2）z zy y x x b a b a b a ==；0=++z z y y x x b a b a b a （3）2-或3 （4）23-（5）2 （6）2π 2、（1）（C ） （2） (C) 3、)223(171→→→--±k j i 4、19215、 96、→→--k i 248；→→--k j7、→a +→b =→c λ，→b +→c =→a μ，→→→→-=-a c c a μλ，→→+=+c a )1()1(λμ，1-=λ 练习1-31、（1） {}1,1,1-；{}2,2,0-- （2）04573=-+-z y x ； 531124-=+=-z y x （3）130012+=-=-z y x ，()()()0311014216=++-+--z y x 2、 （1） )(D （2） )(C3、直线过点()2,0,3-，{}3,1,2-=s ，点向式方程为：32123+==--z y x ，参数式方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==+-=2332t z t y t x 。

4、0=--z y x5、592298=--z y x6、7236±=++z y x7、 ⎩⎨⎧=+-=-+1302z y x z y x练习1-41、（1）()1,2,1--；6 （2）36994222=--z y x ；36944222=-+y z x（3）⎩⎨⎧==+-082222z y x x（4）表示两直线的交点,317,34⎪⎭⎫⎝⎛-- 两平面的交线⎩⎨⎧=--=+-032015y x y x ；表示椭圆与直线的交点()3,0，表示椭圆柱面19422=+y x 与平面3=y 的交线。

3、在xOy 面上的投影图形为422≤+y x （0=z ）。

在yOz 面上的投影图形为：yOz 平面上的曲线2y z =及直线4=z 所围平面图形。

在zOx 面上投影图形为：zOx 面上的曲线2x z =及直线4=z 所围平面图形。

4、在xOy 面上的投影图形为：ax y x ≤+22。