ρ = ρ0x
∂ 2ϕ ρ0x = − 2 ε0 ∂x 2 ∂ϕ ρ0x = − + C1 ∂x 2ε 0
-
ρ0x3 + C1x + C 2 ϕ = − 6ε 0
静电场习题解答
边界条件: 边界条件 x=0:
ϕ = 0 x=d ϕ = U0
C2 = 0
ρ 0d 3 = − + C 1d 6ε 0
ρ0x3 + C1x + C 2 ϕ = − 6ε 0
C3 C5 − − 2 =− 2 ε 0 R2 R2 R2
α
静电场习题解答
求解得
α R1 C2 = ln ε 0 R2
α C4 = (1 + ln R2 ) ε0
α C3 = − R1 ε0
α C5 = ( R2 − R1 ) ε0
静电场习题解答
1-4-2 两平行导体平板 相距为 板的尺寸远大于 两平行导体平板,相距为 相距为d,板的尺寸远大于 d,一板电位为零 另一板电位为 0,两板间充满电 一板电位为零,另一板电位为 一板电位为零 另一板电位为U 两板间充满电 电荷体密度与距离成正比.试求两板见的电位 荷,电荷体密度与距离成正比 试求两板见的电位 电荷体密度与距离成正比 分布. 分布
b = h −a = 2
2 2
( 以 y 轴为电 位为参考点 )
静电场习题解答
如图此时空间任意点的电位
τ ρ1 ϕ= ln 2πε 0 ρ 2
设+τ圆柱的电位为ϕ1，设-τ圆柱的电位为ϕ2，则
U 0 = ϕ1 − ϕ 2 = b + (h − a) b − (h − a) b + (h − a) τ τ τ ln − ln = × 2 ln 2πε 0 b − (h − a ) 2πε 0 b + (h − a ) 2πε 0 b − (h − a)
2ε 2 2 × 80ε 0 τ ′′ = τ= τ = 1.97τ ε1 + ε 2 ε 0 + 80ε 0
静电场习题解答
1-7-5 两根平行圆柱形导线，半径均为2cm， 相距12cm，设加以100V电压，求圆柱表面上 相距最近点和最远点的电荷密度。
a=2cm=0.02m h=12cm/2=0.06m
U
0
ρ = ρ0x
U0 ρ 0d 2 C1 = + 6ε 0 d
-
U0 ρ0x3 ρ 0d 2 + x + x ϕ = − 6ε 0 6ε 0 d
静电场习题解答
P46 1-7-2 河面上方h处，有一输电线经过，其电 荷线密度为τ，河水介电常数为80ε0，求镜像电荷的 值。
τ
ε0 h 80ε0
静电场习题解答
解：
∫ D ⋅ dS = q,
S
∫
S
v v 2 D ⋅ d S = 4π r D = q
D = q
2
qr a
4 πr v D q v r<a:E = = er 2 ε0 4 πε 0 r
er
v D r >a:E = =
q 4πεr
ε
v e 2 r
静电场习题解答
D = ε0 E + P v v v P = D − ε0 E
极化电荷面密度
v ε − ε0 P=
ε
q r er 2 4π r
σ p = P⋅ en
v v σ p = P ⋅ en = Pencos180 = −P
°
v en
静电场习题解答
1-4-1 电荷ρ=a/r2，分布于R1<r<R2的球壳中，其中a 为 常数，用泊松方程直接积分求电位分布。 选取无穷远处为电位参考点
静电场习题解答
半径r′（ ）、厚度 半径 （r′<r）、厚度 r′的带电薄壳的电荷元 ）、厚度d 的带电薄壳的电荷元
dq = ρ 0 4πr ′ dr ′
2
它在r处的场强为： 它在r处的场强为：
ρ 0 4πr ′ dr ′ d E1 = er 2 4πε 0 r
2
半径r′（ 处的场强为： 半径 （r′>r）带电薄壳在 处的场强为： ）带电薄壳在r处的场强为 球内场强dE=dE1+dE2 E = e r ρ 0 球内场强 ε 0r 2
ε1 −ε2 τ' = τ ε1 +ε2
和
80ε0 80ε0
2ε2 τ'' = τ ε1 +ε2
静电场习题解答
简单求解： 简单求解： 利用两介质分解平面的镜像公式， 利用两介质分解平面的镜像公式，有
ε1 − ε 2 ε 0 − 80ε 0 τ′ = τ= τ = −0.96τ ε1 + ε 2 ε 0 + 80ε 0
∫ E ⋅dBiblioteka = ∫ E e ⋅eS S r
r
dS
ρ0
r
= E ∫ dS =
S
1
4π r 3 ρ E ⋅ 4π r 2 = 3ε0
ε0
∫
V
ρdV ′ ′
E=
ρr
3ε0
er
所以：球内各点的场强与到球心的距离成正比 所以：
静电场习题解答
1-1-4证明两等量异号的长直平行线电荷场中 证明两等量异号的长直平行线电荷场中 的等位面为一组圆柱面. 的等位面为一组圆柱面
τ
ε0 80ε0 ε0 ε0
τ
80ε0 80ε0
τ
τ
上半空间 边值问题： 下半空间
∇ ϕ1 = 0
2
(除 τ线外的上半空间)
∇2ϕ2 = 0
(下半空间)
静电场习题解答
τ
ε0 ε0
E 1t = E
τ
2t
D 1n = D 2 n
τ τ
τ' τ '' cosθ + cosθ = cosθ 2πε0r 2πε0r 160πε0r τ τ' τ '' sinθ − sinθ = sinθ 2πε0r 2πε0r 160πε0r
2
这是圆的方程。可见， xoy平面上 等位线为一簇圆心在x 平面上， 这是圆的方程。可见，在xoy平面上，等位线为一簇圆心在x 轴上的偏心圆，即等位面是一些偏心圆柱面。 轴上的偏心圆，即等位面是一些偏心圆柱面。
静电场习题解答
P19 1—2—1 一点电荷放在无界均匀介质中的一个球形空 腔中，介质介电常数为ε ，空腔半径为a，求空腔表面的 极化电荷面密度。
圆柱单位长度的电荷τ与圆柱间电压的关系
τ U0 = = 283.65 2πε 0 2 ln b + (h − a)
b − (h − a)
静电场习题解答
点A场强与电荷面密度最大
σ max = ε 0 Emax
τ 1 −1 = 0.1775 × 10− 6 C / m 2 = ε0 + 2πε 0 b − (h − a ) b + (h − a )
∇ ϕ1 = 0
2
0≤r<R1
ρ
R1 ϕ1
R2
ρ ∇ ϕ2 = − ε0
2
R1<r<R2
ϕ2 ϕ3
∇ ϕ3 = 0
2
R2<r<∞
静电场习题解答
选球坐标，球心与原点重合。由对称性可知， 选球坐标，球心与原点重合。由对称性可知，电 仅为r坐标的函数 坐标的函数， 位ϕ仅为 坐标的函数，故泊松方程为
1 d 2 dϕ1 r =0 2 r dr dr
y
ρ
p
1
+τ
d
o
ρ 2
d
τ
τ
x
证明： 证明：设两等量 异号的长直平行 线电荷τ和-τ都与 xoy平面垂直 xoy平面垂直， 平面垂直， 且分别位于（ 且分别位于（d， 0）和（-d ，0）， 那么xoy平面内 那么 平面内 任一点的电位为 （取x=0平面为 平面为 电位参考点）
静电场习题解答
τ ln ϕ ( x, y ) = 2πε 0
0≤r<R1
1 d 2 dϕ 2 ρ α R1<r<R2 r =− =− 2 2 r dr dr ε0 ε 0r
1 d 2 dϕ 3 r =0 2 r dr dr
积分， 积分，通解为
R2<r<∞
静电场习题解答
C1 ϕ1 (r ) = + C2 r
α C3 ϕ 2 (r ) = − ln r + + C4 ε0 r
静电场习题解答
P13：1-1-2 一充满电荷 电荷体密度为ρ0)的 ： 一充满电荷(电荷体密度为 的 证明球内各点的场强与到球心的距离成正比) 球,证明球内各点的场强与到球心的距离成正比 证明球内各点的场强与到球心的距离成正比
解（1）：分析题意， ）：分析题意 分析题意， 场的分布呈球对称性， 场的分布呈球对称性， 以对称中心为坐标原 建立球坐标。 点，建立球坐标。 将带电球体分割成无 数多个同心薄球壳， 数多个同心薄球壳， 它们可视为一均匀带 电球面（ ），球 电球面（例1-3），球 内离球心r处的场强。 内离球心r处的场强。
点B场强与电荷面密度最小 场强与电荷面密度最小
σ min = ε 0 Emin = ε 0
τ 1 1 = 0.0887 × 10− 6 C / m 2 − 2πε 0 a + (h − b) a + (h + b)
则
r = R1
∂ϕ1 ∂ϕ 2 = ε0 ε0 ∂r r = R1 ∂r
α C3 − − 2 = 0 ⇒ C3 = − R1 ε 0 R1 R1 ε0