kf mg
v mg k
第三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•3.5 冰雹的下落速度
function y3_2
t0=0; %初始值
tf=6; %终止值
a=9.8; %初始加速度
options =odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4]);
%求解精度设置
10.3
由物理学可知，建立速度满足的微分方程，冰雹受到地球引力和空气阻 力的影响，其加速度应该为：
mg kv ma
作Laplace变换 msV (s) kV (s) mg 1 s
做Laplace反变换，有：
v(t)
gm
(1
kt
e m)
k
第三章
•3.5 冰雹的下落速度
MATLAB优化算法案例分析与应用
设质点系关于此点的转动惯量为
n
J (x xi )2 ( y yi )2 mi
i1
n
n
n
n
n
x2 mi y2 mi 2x ximi 2 y yimi (xi2 yi2 )mi
i1
i1
i1
i1
i1
由上式满足最小值条件时，
J
x
n
n
2x mi 2 ximi
i1
i1
0
J
y
n
n
2 y mi 2 ximi
i1
i1
0
n
n
ximi
yimi
x
i1 n
,y
i1 n
mi
mi
i1
i1
第三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•3.3 储油罐的油量计算
一平放的椭圆柱体形状的油罐，长度为 L，椭圆的长半轴为 a
，短半轴为b ，油的密度为 ，油罐中油的高度为 h，油罐的
横断面如图所示。
横断面的方程表达式
x2 y2 1
a2 b2
矩形的面积为
2a
1
y2 b2
dy
油罐端面
油罐中油横断面中高度为h 时的面积为
bh
y2
2a 1 dy
b
b2
第三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•3.3 储油罐的油量计算
当油罐中油的高度为h 时油量为： bh 2aL 1 y2 dy ，对其进行积分：
end
9.9
9.8
0
1
2
3
4
5
6
t
速度曲线
。
2
光线反射示意图
第三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•3.1 光的反射定理论证
则光线从L101 到 L0’2 ，所需时间为：
H
H
T L10‘ L0’2 CC
cos1
C
c os 2
C
H C
c
1
os1
1
c os 2
又1点与2点之间的距离为定值 L ，则可得到：
L H tan1 tan2
bb
b
4
第三章
•3.5 冰雹的下落速度
MATLAB优化算法案例分析与应用
当冰雹由高空落下时，它受到地球引力和空气阻力的作用，阻力的大 小与冰雹的形状和速度有关，一般可以对阻力作两种假设： 阻力大小与下落的速度成正比； 阻力大小与速度的平方成正比；
已知初速度 v0 0 、冰雹质量m 、重力加速度g 、正比例系数 k>0 。
（2）阻力大小与速度的平方成正比，有
已知初速度 v0 0 、冰雹质量m 、重力加速度g 、正比例系数 k>0 。
由物理学可知，建立速度满足的微分方程，冰雹受到地球引力和空气阻 力的影响，其加速度应该为：
mg kv2 ma
冰雹的下落时，在一开始速度比较小时（阻力小于重力），冰雹的速度 总是增加的。当速度达到一定时（阻力等于重力），速度不再增加，显然 这个时候就是冰雹速度的最大值。所以，若要冰雹的速度达到最大，有：
2K
tan1
2cos2 1
1 K
tan1 2
1 2}
因函数时间 T 有极小值，令T ' 0
从而有：
tan 2
tan1
K 2
1 2
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MATLAB优化算法案例分析与应用
•3.2 质点系转动惯量求解
n 已知在平面上的 个质点 P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 ， Pn xn，yn 其质量分别为m1，m2 mn ，确定一个点 Px, y ，使得质点系关于此点的转动惯量为最小。
[T,V]=ode45(@diffv,[t0 tf],a,options); % /用 10.2
低阶法求微分方程二的数值解/
plot(T,V) %画图
v
10.1
end 10
function dv = diffv(t,v) %/*第二个微分方程*/ m=1.1; k=0.1; g=9.8; % g值 dv=zeros(1,1); dv(1)=(m*g-k*v(1)*v(1))/m; %加速度
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MATLAB优化算法案例分析与应用
第3章 MATLAB工程应用实例
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MATLAB优化算法案例分析与应用
•3.1 光的反射定理论证
光的反射定理最早由费马
提出，费马原理：光总是沿用 时最短的光程传播。例如光线 的 入 射 、 反 射 过 程 可 由 图 3-1 直观的表示出来，2中光线从1 入射，发射到2点。试证明光 的反射定律：入射角等于反射 角。
b
b2
bh
2La
b
1
y2 b2
令yb sin t
dy t
22
arcsin(1 h b
)
2Lab
c ot2
tdt
4
arcsin(1 h ) b
4
2Lab
2
sin
2t
)
a r c sin(1
h b
)
4
油罐端面
Lab[arcsin(1 h ) ( h 1) 1 ( h 1)2 ]
K L H
tan1 tan 2 K
由三角代换变形得到：
cos2 1 K tan1 2 1 2
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•3.1 光的反射定理论证
得到：
T
H C
c
1
os1
1
c os 2
H C
c
1
os1
1 K
tan1 2
12
对上式求一阶导数得到：
T '
H C
{ sin1 cos2 1
光线反射示意图
第三章
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•3.1 光的反射定理论证
针对图所示光线反射路径图
，假设 X 轴设为实物体表面，
且为理想状态，光线传播过程
中无阻碍，一束自然光线沿路
径 L101 照射到 X 轴，与法线Y
轴的夹角为 1；光线经实物体
表面 X 轴反射后，沿路径L 发 0’2
射，与法线Y轴的夹角为