地主的土地面积计算公式
在旧中国，丈量形状为一般四边形的土地的面积时，北方地主用连结四边形对边中点的两条线段长的积作为土地面积，而南方地主用两组对边边长的平均值的积作为土地面积。

如图1，北方地主：S 四边形ABCD =MN ×PQ ；南方地主：S 四边形ABCD =AB CD AD BC ×22
++。

图1
O Q
P N M D B A
这两个公式似乎都合情合理，有些地方至今仍在使用，那么它们都正确吗？
一、北方地主的公式：
因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°，可以设想，沿PQ 、MN 将四边形ABCD 分割成四块，然后重新拼接，使A 、B 、C 、D 四个顶点拼在一起，将仍能拼成一块。

又因为若顺次连结P 、Q 、M 、N ，可得平行四边形，故OM=ON ，OP=OQ ，所以按如下图2、图3、图4拼法，可拼得平行四边形。

图2
4
321O Q P
N M D B A
→图3M O
→
这个平行四边形的两条邻边的长恰好等于原四边形中PQ 、MN 的长，可见，原四边形两组对边中点连线段的积，就是这个平行四边形两邻边的积，而平行四边形的面积应小于（或等于）两邻边的乘积。

设四边形ABCD 的实际面积为S ，则有：S ≤MN ×PQ （当MN
⊥PQ 时拼成的平行四边形恰为矩形，此时取等号）。

看来北方地主用骗人的公式扩大了地积，增加了对农民的剥削，那么南方地主的公式怎样呢？
二、南方地主的公式：
如图5，连结AC ，取AC 中点E ，连结EM 、EN ，则EM=
12CD ，EN=12
AB ，∵EM+EN ≥MN （当E 恰在MN 上时取等号），∴12（AB+CD ）≥MN ，同理12
（AD+BC ）≥PQ ， ∴AB CD AD BC ×22++≥MN ×PQ 。

图5E
A B C D M
N
C B
我们也可以直接证明南方地主的公式是错误的。

如图6，由△ABC 中BC 边上的高肯
定小于或等于AB 得，S △ABC ≤12AB ×BC （当AB ⊥BC 时取等号），同理：S △BCD ≤12
BC ×CD ，S △CDA ≤12CD ×AD ，S △DAB ≤12
AD ×AB ， ∴S △ABC +S △BCD+ S △CDA +S △DAB ≤12
（AB ×BC+BC ×CD+CD ×AD+AD ×AB ）， 即2S 四边形ABCD ≤12（AB+CD ）(AD+BC) ∴S 四边形ABCD ≤14（AB+CD ）(AD+BC) ∴S 四边形ABCD =AB CD AD BC ×22
++ 三、小结：综上所述，我们应认识到地主的两个公式都是错误的，实际上S ≤MN ×PQ ≤AB CD AD BC ×22
++，当 PQ 与MN 互相垂直时第一个不等号取等号，当四边形ABCD 为平行四边形时第二个不等号取等号。

当四边形ABCD 为矩形时，才有S=MN ×
PQ=AB CD AD BC ×22
++。

通过对地主的公式的分析，我们还应认识到，在生活中，要增强运用数学的意识，考虑问题，不能仅凭情理，更要注重严密的推理和计算。