高中数学三角函数专题专项练习一、 忽略隐含条件例3． 若01cos sin >-+x x ，求x 的取值范围。
正解：1)4sin(2>+πx ，由22)4sin(>+πx 得)(432442Z k k x k ∈+<+<+πππππ∴)(222Z k k x k ∈+<<πππ二、 忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性 例4． 设α、β为锐角，且α+β︒=120，讨论函数βα22cos cos +=y 的最值。
错解 )cos(211)cos()cos(1)2cos 2(cos 211βαβαβαβα--=-++=++=y ，可见，当1)cos(-=-βα时，23max =y ；当1)cos(=-βα时，21min =y 。
分析：由已知得︒<<︒90,30βα，∴︒<-<︒-6060βα，则1)cos(21≤-<βα，∴当1)cos(=-βα，即︒==60βα时，21min =y ，最大值不存在。
三、 忽视应用均值不等式的条件例5． 求函数)20,0(sin cos 2222π<<>>+=x b a x b x a y 的最小值。
错解 )12sin 0(42sin 4cos sin 2sin cos )2()1(2222≤<≥=≥+=x ab x ab x x ab x b x a y Θ，∴当12sin =x 时，ab y 4min =分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。
正解：2222222222222)(2)cot tan ()cot 1()tan 1(b a ab b a x b x a b a x b x a y +=++≥+++=+++=，当且仅当x b xa cot tan =，即abx =tan ，时，2min )(b a y +=【经典题例】例4：已知b 、c 是实数，函数f(x)=c bx x++2对任意α、β∈R 有：,0)(sin ≥αf 且,0)cos 2(≤+βf（1）求f （1）的值；（2）证明：c 3≥；（3）设)(sin αf 的最大值为10，求f （x ）。
[思路]（1）令α=2π，得,0)1(≥f 令β=π，得,0)1(≤f 因此,0)1(=f ；（2）证明：由已知，当11≤≤-x 时，,0)(≥x f 当31≤≤x 时，,0)(≤x f 通过数形结合的方法可得：,0)3(≤f 化简得c 3≥；（3）由上述可知，[-1，1]是)(x f 的减区间，那么,10)1(=-f 又,0)1(=f 联立方程组可得4,5=-=c b ,所以45)(2+-=x x x f例5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数)43sin(log 21xy ππ-=的单调递增区间是？Z k k x k ∈+<≤-]348328[；（2）若函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π=x 对称，则a 的值是 1 ；（3）把函数)43sin(π+=x y 的图象向右平移8π个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是)8sin(π-=x y ； 例6：函数x x xx f cos sin 12sin )(++=，（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x 值。
[思路]（1）{x|x222ππππ-≠-≠k x k 且 }Z k ∈(2)设t=sinx+cosx,则y=t-142,12max ππ+=-=k x yZ k ∈例7：在ΔABC 中，已知B A C C A sin 232cos sin 2cos sin 22=+（1）求证：a 、b 、c 成等差数列；（2）求角B 的取值范围。
[思路]（1）条件等式降次化简得ΛΛb c a B CA 2sin 2sin sin =+⇒=+（2）ΛΛΘ,2182682)(32)2(cos 22222=-≥-+=+-+=ac ac ac ac ac c a ac c a c a B ∴……，得B 的取值范围]3,0(π14．设ααsin cos +=x，且0cos sin 33>+αα，则x 的取值范围是]2,0( ；19．已知)2,0(π∈x ，证明不存在实数)1,0(∈m 能使等式cos x +msin x =m(*)成立； （2）试扩大x 的取值范围，使对于实数)1,0(∈m ，等式(*)能成立；（3）在扩大后的x 取值范围内，若取33=m ,求出使等式(*)成立的x 值。
提示：可化为1)42tan(>+=πx m （2）)2,2(ππ-∈x （3）6π-=x最值问题典型错例例5. 求函数y xx =-s i n c o s 1342的最大值和最小值。
错解：原函数化为4902y x x y s i n s i n -+=，关于s in x 的二次方程的判别式∆=--⨯⨯≥()144902y y ，即-≤≤112112y ，所以y y max min==-112112，。
剖析：若取y =±112，将导致sin x =±32的错误结论，此题错在忽视了隐含条件|s i n |x ≤1。
正解：原函数化为4902y x x y s i n s i n -+=，当y =0时，解得s i n x =0，满足s in x ≤1当y ≠0时，解得s i n x yy=±-1114482，又s i n |s i n |x R x ∈≤，1，则有114401111448122-≥-≤+-≤⎧⎨⎪⎩⎪y y y 或114401111448122-≥-≤--≤⎧⎨⎪⎩⎪y y y ，解得-≤≤113113y ，所以y y max min ==-113113，难点 化简与求值【例】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°，y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41.［例2］关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a aa ，∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)，故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.难点训练1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( )A.21B.－2C.34D. 21或－2 3.设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.7.扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案 难点磁场解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π,∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=。
解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=-- 难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0。
tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a ,整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2.答案：B3.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解Θ7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cosθ－33sin θ。