专题 三角形的中位线 第 1 页 共 3 页
三角形的中位线
例题精讲
例 1 如图 1， D 、E 、 F 分别是△ ABC 三边的中点． G 是 AE 的中点， BE 与 DF 、 DG 分别交于
P 、 Q 两点 .
求 PQ:BE 的值 .
例 2 如图 2，在△ ABC 中， AC>AB ， M 为 BC 的中点． AD 是∠ BAC 的平分线，若
CF ⊥ AD 交 AD 的延长
1 AC AB .
线于 F.求证： MF
2
例 3 如图 3，在△ ABC 中， AD 是△ BAC 的角平分线， M 是 BC 的中点， ME ⊥ AD 交 AC 的延长线于 E ．且
CE
1
CD .求证：∠ ACB=2∠B.
2
D C
E
F
A B
图 1
图 2
图 3
图 4
图 5
巩固基础练
1. 已知△ ABC 周长为 16， D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点，则△ ADE 的周长等于
(
)
A .1
B. 2
C. 4
D. 8
2. 在△ ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 的中点， P 是 BC 上任意一点， 那么△ PDE 面积是△ ABC'面积的 ( )
1
1 1
1
A .
B.
C.
D.
2
3
4
8
3. 如图 4，在四边形
ABCD 中， E 、F 分别为 AC 、 BD 的中点，则 EF 与 AB+CD 的关系是 ( )
A . 2EF AB
CD B. 2EF AB
CD C. 2EF AB CD
D. 不确定
4. 如图 5，AB ∥CD ， E 、 F 分别是 BC 、 AD 的中点，且 AB=a,CD=b ，则 EF 的长为
.
图 6 图 7 图 8 图 9 图 10
5. 如图 6，四边形 ABCD 中，AD=BC ，F 、E 、G 分别是 AB 、CD 、AC 的中点， 若∠ DAC= 200，∠ ACB= 600，
则∠ FEG= . 6. ( 呼和浩特市中考题 ) 如图 7，△ ABC 的周长为 1，连接△ ABC 三边的中点构成第二个三角，再连接第二
个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第
2003 个三角形的周长为
.
7. 已知三角形三条中位线的比为3:5:6 ，三角形的周长是 112cm ，求三条中位线长 . 8. 如图 8，△ ABC 中， AD 是高， BE 是中线，∠ EBC= 300,求证： AD=BE .
9. 如图 9，在△ ABC 中， AB=AC ，延长 AB 到 D ，使 BD=AB ， E 为 AB 中点，连接 CE 、 CD . 求证： CD=2EC .
10.如图 10， AD 是△ ABC 的外角平分线，
CD ⊥AD 于 D ， E 是 BC 的中点 .
求证： (1)DE ∥AB; (2) DE
1
AB
AC .
2
提高过渡练
1. 如图 11， M 、 P 分别为△ ABC 的 AB 、 AC 上 的点，且 AM=BM ， AP= 2CP ， BP 与 CM 相交于 N ，已知
PN= 1，则 PB 的长为 ( )A. 2 B. 3 C .4 D. 5
2. 如图 12，△ ABC 中，∠ B=2∠ C ，AD ⊥ BC 于 D ， M 为 BC 的中点， AB= 10，则 MD 的长为 ( )
A. 10
B. 8 C .6 D. 5
3. 如图 13，△ ABC 是等边三角形， D 、 E 、 F 分别是 AB 、 BC 、AC 的中点， P 为不同于 B 、 E 、 C 的 BC 上
的任意一点，△ DPH 为等边三角形 .连接 FH ，则 EP 与 FH 的大小关系是 ( )
A. E P>FH
B. EP=FH
C. EP<FH
D.不确定
4. 如图 14，在△ ABC 中，AD 平分∠ BAC ，BD ⊥ AD ，DE ∥ AC ，交 AB 于 E,若 AB= 5，则 DE 的长为
.
5. 如图 15，△ ABC 中， AB= 4， AC= 7，M 为 BC 的中点， AD 平分∠ BAC ，过 M 作 MF ∥ AD ，交 AC 于 F ，
则 FC 的长等于 .
图 11 图 12 图 13 图 14 图 15
6. 已知在△ ABC 中，∠ B= 600
，CD 、 AE 分别为 AB 、BC 边上的高， DE= 5，则 AC 的长为
.
7. 如图 16，在△ ABC 中， D 、E 是 AB 、AC 上的点，且 BD=CE ，M
、
N 分别是 BE
、
CD 的中点，直线 MN
分别交 AB 、AC 于 P 、Q.
求证： AP=AQ
8. 如图 17， BE 、CF 是△ ABC 的角平分线， AN ⊥ BE 于 N ， AM ⊥CF 于 M. 求
证： MN ∥ BC.
9. 如图 18，在△ ABC 中， AD 平分∠ BAC ， AD=AB ， CM ⊥ AD 于 M.
求证： AB+AC= 2AM
10.如图 19，四边形 ABCD 中， G 、H 分别是 AD 、BC 的中点， AB=CD .BA 、CD 的延长线交
HG 的延长线
于 E 、 F.
求证：∠ BEH= ∠ CFH .
图 16
图 17 图 18 图 19 图 20
顶级超强练
1. 如图 20，在△ ABC 中，∠ ABC=2 ∠ C ， AD 平分∠ BAC ，过 BC 的中点 M 作 ME ⊥ AD ，交 BA 的延长线
于 E ，交 AD 的延长线于 F.
求证： BE
1
BD .
2
2. 如图 21，在△ ABC 中， AB<AC ，P 为 AC 上的点， CP=AB ，K 为 AP 的中点， M 为 BC 的中点， MK 的
延长线交 BA 的长线于 N.
求证： AN=AK .
3. 如图 22，分别以△ ABC 的边 AC 、 BC 为腰， A 、 B 为直角顶点，作等腰直角△
ACE 和等腰直角△ BCD ，
M 为 ED 的中点 .
求证： AM⊥ BM.
4.如图 23，点 O 是四边形 ABCD 内一点，∠ AOB= ∠ COD= 1200， AO=BO ， CO=DO ， E、F、 G 分别为AB、
CD 、BC 的中点 .
求证：△ EFG 为等边三角形 .
5.如图 24，△ ABC 中， M 是 AB 的中点， P 是 AC 的中点， D 是 MB 的中点， N 是 CD 的中点， Q 是 MN 的中
点，直线 PQ 交 MB 于 K.
求证： K 是 DB 的中点 .
6.如图 25， P 为△ ABC 内一点，∠ PAC= ∠ PBC， PM⊥ AC 于 M，PN⊥BC 于 N.D 是 AB 的中点 .
求证： DM=DN
图 21图22图23图24图25
7.如图 26，AP 是△ ABC 的角平分线， D 、E 分别是 AB、AC 上的点，且 BD=CE .又 G、H 分别为 BC、DE
的中点 .
求证： HG∥ AP.
8. 如图 27，已知△ ABD 和△ ACE 都是直角三角形，且∠ABD= ∠ ACE= 900，如图 (a)，连接 DE，设 M 为
DE 的中点 .
(1)求证： MB=MC ;
(2)设∠ BAD= ∠ CAE，固定△ ABD，让 Rt△ ACE 绕顶点 A 在平面内旋转到图(b)的位置，试问 MB=MC
是否成立 ?并证明其结论.
9.已知△ ABC 面积为 S，作直线 l ∥BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E，若△ BED 的积为 K .
求证： S≥ 4K .
10.如图 28，在△ ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 边上的一点， E 是线段 AD 上的一点．且∠ BED= 2∠ CED= ∠ BAC.
求证： BD= 2CD.
图 26图27图28。