f(x2)
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
N
f(x2)
对区间I内 任意 x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时，都 有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意
（2）.函数 f(x)=-x2+ 2ax-1+a2在(-∞,2] 上 是增函数，在 [2,+∞] 上是减函数，则 f(2)= （）
A.-1； B.7； C.3； D. 4a+5
f (x) 是定义在R上的单调函数，且 f (x) 的图
象过点A（0，2）和B（3，0）
（1）解方程 f (x) f (1 x) （2）解不等式 f (2x) f (1 x) （3）求适合 f (x) 2或f (x) 0 的 x 的
讨论2： y=ax2+bx+c (a≠0) 的单调性
成果交流
y ax2 bx c(a 0)的对称轴为 x b
2a
y ax2 bx c 单调增区间
单调减区间
a>0 a<0
b 2a
,
,
b 2a
,
b 2a
b 2a
,
返回
例题、 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
证明：
（一）设值
设x1,x2是R上（的二任）意作两差个变实形数，x1<x2 ，
则f (x1) f (x2) (3 x1 2) (3 x2 2)
3(x1 x2)
（三）判断符号
由x1 x2,得 x1 x2 0
于是 f(x1)-f( x2)<0, 即 f(x1)<f(x2)
（四）结论
所以,函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
⑷下结论：根据定义得出其单调性.
试用定义法证明函数 f(x)= - 在1区间
x
上是单调增函数。
0,
小结
函数单调性及相关概念 函数单调性的判断(图象法)与证明(定
义 法)的方法与步骤（取值，作差与变 形，判断，结论）
学会数形结合的思想以及从具体到抽 象的研究问题的方法。
习题
（1）.设函数f(x)=(a-1)x + b是R上的减函数， 求a的范围。
函数的单调性
上升
y y x 1
下降
y
y x 1
局部上升或下降 y
o
x
o
x
y x2
o
x
能函用数图的象这上种动性点质P称（为x，函y数）的的单横调、性纵坐标
关在系某一来区说间明内上，升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
取值范围
返回
谢谢
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f (x1 )< f (x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，I称为f(x)的单调 增 区间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
单调区间
（1）如果函数 y =f (x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那 么就说函数 y =f (x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 ,
上是单调增函数；
y
y x2
o
x
（1）如果函数 y =f (x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那 么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
单调减区间是： [5, 2] ,[1,3]
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(1) y 1 (x 0);
y
y1
x
x
？
x
y
1 x
的单调减区间是_(___,_0_)_U_, _(0_,___ )
讨论1：根据函数单调性的定义，
试讨论 f (x) k (k 0) 在,0和0, 上的单调性？
x
y
10
8
ห้องสมุดไป่ตู้
6
4
2
I
O
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 x
-2
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
f(x1) O
M
I x1 x2
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
y
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（3） x 1 ，x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则
函数 f (x)在R上是增函数；
y
f(2)
f(1)
O 1 2x
例题1：根据图像指出y f (x) 单调增区间和单调减区间
单调增区间是： [2,1] ,[3,5]
定 两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为 f (x)的单调
增区间.
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
结论
证明函数单调性的一般步骤： ⑴取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意 值，且x1< x 2 (或x1 >x 2）； ⑵作差：作差f (x1)－f (x2)，并将此差式变 形（要注意变形到能判断整个差式符号为止）；
⑶定号：判断f (x1)－f (x2)的正负（要注意 说理的充分性）,必要时要讨论；