圆锥曲线小题中“定值与定点问题”举例
一、椭圆、双曲线中的一个定值问题
P
性质：若
A

a,0
、B
a,0
是椭圆
C：
x2 a2

y2 b2
1a b 0 的两个顶点，点 P 是椭圆
A
B
C
上一动点，则 kPA kPB 为定值
b2 a2
。
P B
推论：若
A、B
是椭圆
C：
x2 a2

P41
例4(2017全国Ⅲ,理20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段
AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
B
O A
M P
1.如图,抛物线 C:y2=2px 的焦点为 F,抛物线上一定点 Q(1,2). (1)求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程; (2)过焦点 F 的直线(不经过点 Q)与抛物线交于 A,B 两点,与准线 l 交于点 M,记 QA,QB,QM 的 斜率分别为 k1,k2,k3,问是否存在常数λ,使得 k1+k2=λk3成立?若存在λ,求出λ的值;若不存在,说明 理由.
2p

x1 m x1 x2 y1 y2
12
1、已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，抛物线上两点 A, B 满足 AF 3FB ，则弦 AB 的中点
到抛物线的准线的距离为（ x1+x2） y12+y22
A. 8
B. 4
d= 2 +1= 8 +1
C.2
D.1
3
3
y1y2=-4 y1=-3y2
(2)以 AB 为直径的圆交 x 轴于点 M,N,记劣弧 的长度为 S,当直线 l 绕 F 旋转时,求|������������|的最大 值.
k
3、抛物线 y2 4x 上有两动点 A, B 满足 OA OB 9 ，（ A, B 位于 x 轴两侧）。 4
（1）求证：直线 AB 过定点 Q ；
A
（2）求 OAB 的面积的最小值。
9 (y1y2)2
9
x1x2+y1y2=4 16 +y1y2=4
O
y1y2=-18
A、B与点Q 92，0 共线
B
19
27 2
SΔAOB=2∙2∙ y1-y2 ≥ 2
P39 例1已知过点A(0,2)的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径.
(1)求点C轨迹E的方程; x2=8y
(2)当AC不在坐标轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直
△ 线BC交于点Q,求证: PQC恒为直角三角形. CA=CC1
(1)若������������=λ������������,当 λ∈
1 2
,
2 3
时,求 k 的取值范围;
(2)过A,B两点分别作曲线C的切线l1,l2,两切线交于点P,求△AMP与△BNP面积之积的最小值.
N
B
MF A
O
P
P40 例3(2016浙江,文19)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的 距离等于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于 点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
是椭圆上关于 x
轴对称的
两点，直线 AM，BN 的斜率分别为 k1，k2，且 k1k2≠0，若|k1|+|k2|的最小值为 1，则椭圆的
离心率为_______。
二、抛物线中的一个定值问题
C
性质：过点 Pm,0 作抛物线 y2 2 px的弦 AB ，一定有 x1x2 m2, y1y2 2 pm ；
y2 b2
1a
b 0 上关于原点对称的两点，点 P 是椭圆
A
C
上一动点，则 kPA kPB 为定值
b2 a2
。
1、已知椭圆
x2 a2

y2 b2
1a
b 0的长轴的两个端点为 A、B，M、N 是椭圆上关于 x 轴对
称的两点，若 k AM kBN
1 ，则椭圆的离心率为_____。 4
2、已知抛物线 y2 2 px p 0的焦点为 F ，过点 p ,0 引直线 l 与抛物线相交于 A, B
2
y1y2=p2
两点，若直线 AF 的斜率为 2，则直线 BF 的斜率为（ ）
1
A.
2
2
B.
2
y1
C. 1 2
kAF= y12 p =2
-
2p 2
y2D. 2
2、 已知
A, B, P 是双曲线
x2 a2

y2 b2
1 上不同的三点，且 A, B
连线 经过 坐标原 点，若 直线
PA, PB 的斜率乘积 kPA kPB 2 ，则该双曲线的离心率为_______。
3、已知 A、B
是椭圆
x2 a2

y2 b2
1 (a b 0) 长轴的两个端点，M，N
P
P、C、A共线x1x2=-16，y1y2=4
C(x1，y1)B
x1 2
，0
-4 kAB= x1
P(x2，y2)，在P处的切线斜率kPQ=
x2 4
A
C OB
Q A1
C1
P43对点训练2(2018浙江高三适应性考试)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),过点F且斜率为k
的直线l交曲线C于A,B两点,交圆F:x2+(y-1)2=1于M,N两点(A,M两点相邻).
反之若 x1x2 m2, y1y2 2 pm 为定值，则直线 AB 过定点 Pm,0 。

4 kAB= y1+y2 =1
A: B :
y12 y22

2 px1 2 px2
4
y1y2=-4 kA1B= y1-y2
y y 2 pm
A、、B、 共线:
y1
y1 y2
2.如图,已知点 P 是 y轴左侧(不含 y轴)一点,抛物线 C:y2=4x上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上. (1)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴;
2
(2)若 P 是半椭圆 x2+ 4 =1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围.
3.已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A,B,当直线 l 的倾斜 角是 45°时,AB 的中垂线交 y 轴于点 Q(0,5). (1)求 p 的值;