RXY (0) E[ X (t )Y (t )] E[Y (t ) X (t )] RYX (0)
RXY ( ) RYX ( )
证
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[Y (t ) X (t )] RYX ( )
性质3 证
E[ A] 2, D[ A] 4
(1)证明 X (t ) 是平稳过程;
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k 0 k 0


(t ) 2 k 1 (2k 1)!
R (t , t ) e
2
故 X (t ) 是平稳随机序列。
例3
设随机序列{ X (t ) sin(2 t ) ， t T }，
其中T={1，2，…} 试讨论随机序列 解
是在[0，1]上服从均匀分
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X (t ) 的自相关函数
E[(U cos (t ) V sin (t )) (U cost V sin t )]
RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
2
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E(U ) cos (t ) cost E(V 2 ) sin (t ) sin t 2 cos
注
说明相关函数 RX ( ) 在 0 时取得最大值
性质3 证 性质4
RX ( ) RX ( ) RX ( ) 为偶函数：
RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
E[ X ((t ) ) X (t )] RX ( )
RX ( ) 具有非负定性 即对任意的2n个实数
布的随机变量， 的平稳性。
X (t )
的密度函数为
所以
1 ，当 0 R(t , t ) 0 sin 2 (t ) x sin 2txdx 2 0，当 0 故 X (t ) 是平稳随机序列。
E[ X (t )] sin 2txdx 0
| RXY ( ) |2 RX (0)RY (0)
| RXY ( ) |2 | E[ X (t )Y (t )] |2
E | X (t ) |2 E | Y (t ) |2 RX (0) RY (0)
例1
设有两个随机过程 X (t ) U cos t V sin t
___________ int in (t ）
E[X(t )] 0
R X (t , t ) E[X(t) X(t ) ]=E[ Z ne . Z me
= e
n=-
]
n=-
n=-
2 in n
.
随机变量序列 X（t) 是平稳过程。
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三、互相关函数及性质 五 联合平稳过程与相关函数的性质
故 X n 是一个平稳时间序列。
2，当 0 0，当 0
注
在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪 声”，它是实际中最常用的噪声模型。
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例2
设随机点出现的次数 N (t )服从速率为
的泊松过程，
设随机电报信号流{ X (t ), t 0 }为一随机过程
1 P( X (t ) 1) P( X (t ) 1) 2 试讨论随机信号流的平稳性。 1 1 解 E[ X (t )] 1 1 0 2 2 P( X (t ) X (t ) 1) Rx (t , t ) 1 P( X (t )X (t ) 1) (1) P ( X (t ) X (t ) 1) P( N ( ) 2k ) e (t ) 2 k / (2k )!
对于两个平稳过程，给出联合平稳的概念。
, T }是两个平稳过程， 定义1 设{ X (t ) ,t T }，{Y (t ) t
如果对于任意的 t , T ，有互相关函数
E[ X (t )Y (t )] RXY ( )
则称 X (t ) 与 Y (t )
联合平稳随机过程
注 两个平稳联合过程它们的互相关函数仅依赖于
n
E[ [ X ( i ) X ( j )ai a j ] E[ ( X ( i )ai ) (X ( j )a j )]
E[ ( X ( i )ai ) ] 0
2 i 1
n
i 1
j 1
3、互相关函数的性质
性质1 证 性质2
RXY (0) RYX (0)
2 ( cos (t ) sin t n (t ) cos t )
2 sin
作 业
试讨论 X (t ) A cos( ωt ) ， t
其中ω 是常数， A, 相互独立的随机变量，
U 是在[0， 2 ] 上服从均匀的随机变量。
同样可求得 RY ( ) 2 cos
故 X (t ) 、Y (t ) 都是平稳过程。 X (t ) 、 Y (t ) 的互相关函数为
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[(U cos (t ) V sin (t )) (U sin t V cos t )]
k 0 k 0
若在[0,t]内随机点出现偶数次 X (t ) 1 ；随机点出现奇数 t k 次 X (t ) 1 ；P( N (t ) k ) e (t ) / k !
P ( X (t ) X (t ) 1) P( N ( ) 2k 1) e
F (t1 , t2 ,, tn ；x1, x2 ,, xn )
则 X (t ) 称为严平稳过程
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二、严平稳过程的特点 1
严平稳过程 X (t ) 的一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关，
二维概率密度 f (t1 , t2；x1 , x2 ) 仅与时间差 t1 t 2 有关， 而与时间起点无关。
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三、宽（弱）平稳过程
定义2 设随机过程{X (t ) ， t T }， 如果它满足：
（1） X (t ) 是二阶矩过程；
（2）均值函数为常数，即 m(t ) E[ X (t )] m
（3）相关函数 r (t1, t2 ) 仅依赖 t1 t 2 ，即
RX (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] B( )
a1 , a2 ,, an 与 1 , 2 ,, n ，有

证
n
n
n
i 1 j 1
X
RX ( i j )ai a j 0
n n i 1 j 1
n
R
i 1 j 1
n i 1 j 1
n
n
( i j )ai a j E[ X ( i ) X ( j )]ai a j
则称 X (t ) 为宽平稳过程， 简称 平稳过程
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例1
设{ X n , n 0, 1, 2,... }是相互独立同分布的随机变量序列，
且均值和方差为
E[ X n ] 0
试讨论随机变量序列 解 因为
D[ X n ] 2
Xn
的平稳性。
E[ X n ] 0 R(t , t ) E[ X n X n )]

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2、自相关函数的性质 性质1 证 性质2 证
R X (0) 0
RX (0) RX (t , t ) E[ X (t )2 ] 0
| RX ( ) | RX (0)
由许瓦兹不等式得
2
2
| RX ( ) | | E[ X (t ) X (t )] |
2 2
E[(X (t )) ]E[(X (t )) ] 2 [ R (0)] E[ X (t ) X (t )]E[ X (t ) X (t )] X
Y (t ) U sin t V cos t
t
其中U和V是均值都为零、方差都为 2 的不相关随机变 量，试讨论它们的平稳性，并求自相关函数与互相关函数。
解
因为 所以
E (U ) E (V ) 0
D(U ) D(V ) 2
mX (t ) E[ X (t )] E[U cost V sin t ] 0 E[U sin t V cos t ] 0 mY (t ) E[Y (t )]
Rz (t , t ) E[Z(t ) Z(t ) ] rZ ( ),
则称 Z(t ) 为复平稳过程。
___________
t, t T
例 复随机过程
i1t
Z(t) Z1e Z2e , Z1 , Z2是不相关的复随机变量 EZ1 EZ2 0，E Z ，E Z 2 2，
f (t；x) f (0；x) f ( x)
f (t, t ；x1, x2 ) f (；x1 , x2 )
2
若严平稳过程存在二阶矩，则
（1）均值函数为常数：
m(t ) E[ X (t )] m
（2）相关函数仅是时间差 记


的函数：
RX ( ) E ( X (t ) X (t ))
0
1, f ( x) 0 , 1
0 x 1
其它
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1
注
例4中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的， 因为一维分布与t有关。
四、复平稳过程
复平稳过程定义及特征
若{ Z(t ) X(t） +iY(t) , t (,) }是复随机过程，满足
mZ (t ) mZ (复常数），t T
2 1 2 1 2 2