九年级数学圆周角定理易错题总结（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，点E在AD的延长线上，下列说法正确的是()A. 若DC平分∠BDE，则AB=BCB. 若AC平分∠BCD，则AB2=AM⋅MCC. 若AC⊥BD，BD为直径，则BC2+AD2=AC2D. 若AC⊥BD，AC为直径，则sin∠BAD=BDAC【答案】B【解析】解：选项B正确．理由：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，∵∠ACD=∠ABM，∴∠ABM=∠ACB，∵∠BAM=∠CAB，∴△BAM∽△CAB，∴ABAC =AMAB，∴AB2=AM⋅AC，故选：B．选项B正确．利用相似三角形的性质解决问题即可．本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为()A. 2B. √7C. 1+3√2D. 1+√7【答案】D【解析】【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，如图，连接OQ，作CH⊥AB 于H.首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题；【解答】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大(也可以通过CQ≤QK+CK求解)在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，∴∠OCH=30°，∴OH=1OC=1，CH=√3，2在Rt△CKH中，CK=√(√3)2+22=√7，∴CQ的最大值为1+√7．故选D．3.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是ACDF，中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF=54则tan∠ABD的值为()A. 23B. √33C. 35D. √54【答案】A【解析】【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．由△ADF∽△BDA，推出AD2=DF⋅DB，由BF=54DF，可以假设DF=4m，则BF=5m，BD=9m，可得AD=6m，根据tan∠ABD=ADBD计算即可解决问题．【解答】解：∵AD⏜=DC⏜，∴∠DAF=∠DBA，∵∠ADF=∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴ADBD =DFAD，∴AD2=DF⋅DB，∵BF=54DF，∴可以假设DF=4m，则BF=5m，BD=9m，∴AD2=36m2，∵AD>0，∴AD=6m，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴tan∠ABD=ADBD =6m9m=23，故选A．4.如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为()A. 5B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE.根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．【解答】解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC，∴∠CAD=∠CDB，∵∠ACD=∠ACD，∴△ACD∽△DCE，∴CDCE =ACDC，即64=x+46，解得：x=5．故选A．5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC=30°，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE=OD时，∠OCE的大小不可能为()A. 20°B. 40°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】解：连接OC，分情况讨论：①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，设∠OCE=x，∵OC=OD，∴∠OCE=∠D=x，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∵DE=OD，∴∠DOE=∠DEO=30°+x+30°=60°+x∴2(60°+x)+x=180°解得x=20°．∴∠OCE的大小为20°；②如图2，设∠OEC=x，∵DE=OD，∴∠EOD=∠E=x，∵DO=CO，∴∠ODC=∠OCD=2x，∠EOC=2∠A=60°∴在△OCE中，x+60°+2x=180°，解得x=40°，∴∠OCE=2x=80°；③如图3，设∠ACE=x，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=30°+x，∵OD=DE∴∠E=12∠ODC=15°+12x，∴15°+12x+x=30°解得x=10°，∴∠OCE=30°+x=40°．综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．综上，∠OCE的大小不可能为70°，故选：C．根据OD绕着点O顺时针旋转，设连结CD交直线AB于点E，DE=OD，分三种情况画图进行计算即可．本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，三角形外角性质，解决本题的关键是利用旋转的性质分三种情况讨论．6.如图，AB是⊙O的直径，AB=4，C为弧AB的三等分点(更靠近A点)，点P是⊙O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为()A. 2B. √7C. 2√3D. √3+1【答案】D【解析】【分析】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、直角三角斜边的中线，圆心角，弧，弦的关系有关知识，如图，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D 在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，∵AD=DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO=90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为AB⏜的三等分点，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA=60°，OC=2，OK=1，∴CK=√OC2−OK2=√3，OA=1，∵DK=12∴CD=√3+1，∴CD的最大值为√3+1，故选D．7.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，BD，点E在AD的延长线上，下列说法正确的是()A. 若DC平分∠BDE，则AB=BCB. 若AC平分∠BCD，则AB2=AM⋅MCC. 若AC⊥BD，BD为直径，则BC2+AD2=AC2D. 若AC⊥BD，AC为直径，则sin∠BAD=BDAC【答案】D【解析】【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等有关知识，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质对各个选项进行分析即可得出结论．【解答】解：对于A，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠ABC，∵DC平分∠BDE，∴∠BDC=∠CDE，由圆周角定理得，∠BDC=∠BAC，∴∠BAC=∠ABC，∴AC=BC，故A错误；对于B，∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，∵∠ACD=∠ABM，∴∠ABM=∠ACB，∵∠BAM=∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴ABAC =AMAB，∴AB2=AM·AC，故B错误；对于C，如图：∵AC⊥BD，BD为直径，∴BD垂直平分AC，∠BAD=90°，∴AB=BC，AB2+AD2=BD2，∴BC2+AD2=BD2，故C错误；对于D，连接BO并延长交圆O于点F．∵BF是直径，∴∠BDF=90°，∵AC为直径，∴BF=AC，又∠BAD=∠BFD，在Rt△BDF中，sin∠BAD=BDBF =BDAC，故D正确．故选D．8.已知：平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0,4)，B(0,−6)，点C是x轴正半轴上的一点，且满足∠ACB=45°，则()A. △ABC的外接圆的圆心在OC上B. ∠ABC=60°C. △ABC的外接圆的半径等于5D. OC=12【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形性质、圆周角定理、勾股定理等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造圆周角以及直角三角形，由45°的圆周角联想到90°的圆心角是解题的突破口．构造含有90°圆心角的⊙P，则⊙P与x轴的交点即为所求的点C.根据△PBA 为等腰直角三角形，可得OF=PE=5，根据勾股定理得：CF=7，进而得出OC．【解答】解：设线段BA的中点为E，∵点A(0,4)，B(0,−6)，∴AB=10，E(0,−1)．AB=5，如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP=12则易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5√2，以点P为圆心，PA(或PB)长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，∵∠BCA为⊙P的圆周角，∴∠BCA=1∠BPA=45°，即则点C即为所求．2过点P作PF⊥x轴于点F，则OF=PE=5，PF=OE=1，在Rt△PFC中，PF=1，PC=5√2，由勾股定理得：CF=√PC2−PF2=7∴OC=OF+CF=5+7=12，故选D．9.如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC=70°，则∠AOD的度数为()A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出AD⏜的度数是解此题的关键．先根据圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系求出CD⏜和AC⏜的度数，求出AD⏜的度数，再求出答案即可．【解答】解：∵圆周角∠ABC=70°，CD是⊙O的直径，∴CD⏜的度数是180°，AC⏜的度数是2×70°=140°，∴AD⏜的度数是180°−140°=40°，∴圆心角∠AOD的度数是40°，故选：C．10.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC=30°，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE= OD时，∠OCE的大小不可能为()A. 20°B. 40°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】【试题解析】解：连接OC，①如图1，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，设∠OCE=x，∵OC=OD，∴∠OCE=∠D=x，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∵DE=OD，∴∠DOE=∠DEO=30°+x+30°=60°+x∴2(60°+x)+x=180°解得x=20°．∴∠OCE的大小为20°；②如图2，设∠OEC=x，∵DE=OD，∴∠EOD=∠E=x，∵DO=CO，∴∠ODC=∠OCD=2x，∠EOC=2∠A=60°∴在△OCE中，x+60°+2x=180°，解得x=40°，∴∠OCE=2x=80°；③如图3，设∠ACE=x，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=30°+x，∵OD=DE∴∠E=12∠ODC=15°+12x，∴15°+1x+x=30°解得x=10°，∴∠OCE=30°+x=40°．综上：∠OCE的大小为：20°、40°、80°．故选：C．根据OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，DE=OD，分三种情况画图进行计算即可．本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是利用旋转的性质分三种情况讨论．11.如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为(结果保留π)()A. 16B. 24−4πC. 32−4πD. 32−8π【答案】B【解析】【分析】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出三角形及扇形是解答此题的关键．连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以AD=BD，S阴影=S△ABC−S△ABD−S由此可得出结论．弓形AD【解答】解：连接AD，OD，∵等腰直角△ABC中，∴∠ABD=45°．∵AB是圆的直径，∴∠ADB=90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AD=BD=4√2，∴S阴影=S△ABC−S△ABD−S弓形AD=S△ABC−S△ABD−(S扇形AOD −12S△ABD)=12×8×8−12×4√2×4√2−90π×42360+12×12×4√2×4√2=16−4π+8=24−4π．故选B．12.如图，等边△OAB的边长为1，以O为圆心，CD为直径的半圆经过点A，连接AD，BC相交于点P，将等边△OAB从OA与OC重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120°，交点P运动的路径长是()A. √33π B. 4√39π C. 2√33π D. 23π【答案】B【解析】解：如图，∵∠AOB=60°，∴∠AOC+∠BOD=120°，∴∠BCD+∠ADC=12∠BOD+12∠AOC=12(∠BOD+∠AOC)=60°，∴∠CPD=120°，∴点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形△CDM的外接圆的半径，易知等边三角形△CDM的外接圆的半径=2√33，∴点P的运动路径的长=120⋅π⋅2√33180=4√39π故选：B．如图点C的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形△CDM的外接圆的半径，利用弧长公式计算即可．本题考查轨迹，等边三角形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是证明∠ACB=120°，得出点C的运动轨迹是弧．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.如图，已知：圆的两弦AB、CD相交于点P，AD、CB的延长线相交于圆外一点Q，∠AQC=34∘，∠APC=70∘.则∠ADC=__________，∠BCD=_________．【答案】52°，18°【解析】【分析】此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由三角形外角的性质，易求得∠APC=∠C+∠AQC+∠A，又由圆周角定理，可得∠A=∠C，即可求得∠A与∠C的度数，继而求得∠ADC的度数．【解答】解：∵∠ADC=∠C+∠AQC，∠APC=∠A+∠ADC，∴∠APC=∠C+∠AQC+∠A，∵∠A=∠C，∠AQC=34°，∠APC=70°，∴70°=2∠A+34°，∴∠A=18°，∴∠BCD=∠A=18°，∠ADC=∠APC−∠A=52°．故答案为：52°，18°．14.在半径为√2的⊙O中，弦AB=√6，弦AC=2，则∠CAB=__________．【答案】75°或15°【解析】略15.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是中线，E是边AC的中点，过B，D，E三点的⊙O交AC于另一点F，交AD于点G，连接BF.若BC=4，AD=4√3，则BF=________⊙O的直径为________．【答案】4，√912【解析】【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，连接DE.由AB=AC，AD是AC=AE=CE，DE//AB，所中线，得到AD⊥BC，又E为边AC的中点，于是DE=12以∠C=∠EDC，因为∠DEC=∠FBC，所以∠BFC=∠EDC，因此∠BFC=∠C，BF=BC，设AD交⊙O于点M，连接FM.由BM为直径，∠BFM=90°，所以∠AFM+∠BFC=90°，于是∠DAC+∠C=90°，∠C=BFC，∠AFM=∠DAC，得到MA=MF，设MA=MF=x，则DM=4√3−x，由勾股定理DM2+BD2=BF2+MF2=BM2即可求出．【解答】解：如图1，连接DE，如图，∵在等腰△ABC中，AB=AC，AD是中线，∴AD⊥BC，∵E为边AC的中点，AC=AE=CE，DE//AB，∴DE=12∴∠C=∠EDC，∵∠DEC 与∠FBC 所对的弧均为DF⏜， ∴∠DEC =∠FBC ，在△BCF 与△ECD 中，∠DEC =∠FBC ，∠BCF =∠ECD ，∴∠BFC =∠EDC ，∵∠C =∠EDC∴∠BFC =∠C ，∴BF =BC =4．如图2，设AD 交⊙O 于点M ，连接FM ，∵∠ADB =90°，即BM 为直径，∴∠BFM =90°，∴∠AFM +∠BFC =90°，∵∠DAC +∠C =90°，∠C =BFC ，∴∠AFM =∠DAC ，∴MA =MF ，设MA =MF =x ，则DM =4√3−x ，∵DM 2+BD 2=BF 2+MF 2=BM 2，∴DM 2+BD 2=BF 2+MF 2即(4√3−x)2+22=42+x 2，解得x =3√32， ∴BM =√42+(3√32)2=√912．故答案为4，√912．16.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，DE⊥AB于点E，CD交线段OE于点F，∠ODF=∠BDE.若OEOD =35，则S△DOES四边形ADBC=______．【答案】322【解析】【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质及三角形的面积计算等知识点，灵活运用相似三角形的判定及性质是解题的关键．延长DE交⊙O于点G，由垂径定理及已知条件可得∠ODF=∠DCB，则OD//BC，再证△OED∽△BCA，由相似三角形的性质得面积比，设OE=3x，OD=5x，可得DE=4x，根据三角形的面积公式分别用含x的式子表示出△DOE、△BAC、△ABD的面积，则可求得答案．【解答】解：延长DE交⊙O于点G，∵DE⊥AB∴弧GB等于弧BD，∴∠GDB=∠DCB，∵∠ODF=∠BDE，∴∠ODF=∠DCB，∴OD//BC，∴∠EOD=∠ABC，又∠OED=∠ACB=90°，∴△OED∽△BCA，∵OE OD=35∴设OE=3x，OD=5x∵DE⊥AB ∴由勾股定理知DE=4x∵S△DOE=OE⋅DE2=6x2∴S△BAC=24x2∵S△ABD=AB⋅DE2=10x⋅4x2=20x2．∴S△DOES四边形ADBC =6x224x2+20x2=322．故答案为：322．17.已知△ABC内接于半径为2的⊙O.若BC=2√3，则∠A=________．【答案】60∘或120∘【解析】【分析】本题考查的了含30°角直角三角形的性质，圆周角定理等内容，掌握圆周角定理是解题的关键．作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠BCD=90°，根据勾股定理求出CD的长，进而求得∠D，根据圆周角定理解答．【解答】解：作直径BD，连接CD，则∠BCD=90∘，∵半径为2，∴BD=4，在Rt△BCD中，CD=√BD2−BC2=2，BD，CD=12∴∠DBC=30°，∴∠D=60∘，由圆周角定理得，∠A=∠D=60∘，当点A在劣弧BC⏜上时，∠A=180∘−∠D=120∘，故答案为60∘或120∘．18.如图，AB是半圆O的直径，D是半圆O上一点，C是BD⏜的中点，连结AC交BD于点E，连结AD，若BE=4DE，CE=6，则AB的长为______．【答案】4√10【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．如图，连接OC交BD于K.设DE=k，BE=4k，则DK=BK=2.5k，EK=1.5k，由AD//CK，推出AE：EC=DE：EK，可得AE=4，由△ECK∽△EBC，推出EC2=EK⋅EB，求出k即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC交BD于K，连结BC．∵CD⏜=BC⏜，∴OC⊥BD，∵BE=4DE，∴可以假设DE=k，BE=4k，k>0，则DK=BK=2.5k，EK=1.5k，∵AB是直径，∴∠ADK=∠DKC=∠ACB=90∘，∴AD//CK，∴AE:EC=DE:EK，∴AE:6=k:1.5k，∴AE=4，∵△ECK∽△EBC，∴EC2=EK⋅EB，∴36=1.5k×4k，∵k>0，∴k=√6，∴BC=√BE2−EC2=√96−36=2√15，∴AB=√AC2+BC2=√102+(2√15)2=4√10．故答案为4√10．三、解答题（本大题共24小题，共192.0分）19.如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为DE⌢的中点，连接BC，BE．(1)AE=BC．(2)若AE=2√3，求⊙O的半径．(3)在(2)的条件下，求BE⌢的长，并求出图中阴影部分的面积．【答案】(1)证明：连接BD，∵AB，CD为⊙O的直径，∴∠CBD=∠AEB=90°，∵点B恰好为DE⏜的中点，∴BD⏜=EB⏜，∴∠A=∠C，∵∠ABE=90°−∠A，∠CDB=90°−∠C，∴∠ABE=∠CDB，∴AE⏜=BC⏜，∴AE=BC；(2)解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，∴AC⏜=EC⏜，∵AE⏜=BC⏜，AE⏜，∴AC⏜=BE⏜=12∠ABE，∴∠A=12∴∠A=30°，在Rt△ABE中，cos∠A=AE，AB∴AB =AE cos30∘=√3√32=4，∴⊙O 的半径为2．(3)连接OE ，∵∠A =30°，∴∠EOB =60°，BE ⌢的长=2π3，∴△EOB 是等边三角形，∵OB =OE =2，∴S △EOB =12×2×2×√32=√3，∴S 阴=S 扇形−S △EOB =60π×22360−√3=2π3−√3．【解析】略20. △ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，∠ABC =30°，点D 在⊙O 上．(1)如图，若弦CD 交直径AB 于点E ，连接DB ，线段CF 是点C 到BD 的垂线段． ①问∠CDF 的度数和点D 的位置有关吗？请说明理由．②若△DFC 的面积是△ACB 的面积的910倍，求∠CBF 的正弦值．(2)若⊙O 的半径长为2，CD =2√2，直接写出BD 的长度．【答案】解：(1)①∠CDF 的度数和点D 的位置无关，∠CDF =60°，理由如下：当点D 在弦BC 上方的圆弧上时，如下图：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∴∠CDF=∠CAB=60°；当点D在弦BC下方的圆弧上时，如下图：∵∠CAB=60°，∴∠CDB=180°−∠CAB=120°，∴∠CDF=60°；②∵CF⊥BD，AB为直径，∴∠ACB=∠CFD=90°，由①得：∠CDF=∠CAB=60°，∴AC=BCtan60∘=√3BC3；DF=CFtan60∘=√3CF3；∵S△ABC=12AC⋅BC=√3BC26；S△CDF=12CF⋅DF=√3CF26；∴S△CDFS△ABC =CF2BC2=910，∴sin∠CBF=CFBC =3√1010(负值舍去)；(2)∵⊙O的半径长为2，CD=2√2，连接OC、OD，则△COD是等腰直角三角形，∴弧CD所对的圆心角∠COD=90°，①当点D在直径AB下方的圆弧上时：如图，连接OD，过D作DG⊥AB于G，由题意知∠ABC=30°，∠CAB=60°，∴∠AOC=60°，∠BOD=180°−60°−90°=30°，∵OD=2，∴DG=1，OG=√3，BG=2−√3；∴BD=√BG2+DG2=√12+(2−√3)2=√8−4√3=√6−√2；②当点D在直径AB上方的圆弧上时．如图，连接OD，过点D作DH⊥AB于H，此时∠DOA=90°−60°=30°，∴DH=1，OH=√3，BH=2+√3，∴BD=√BH2+DH2=√12+(2+√3)2=√8+4√3=√6+√2；综上所述，BD的长为√6−√2或√6+√2．【解析】本题考查了圆中的相关计算，圆周角定理、锐角三角函数、勾股定理等知识点，牢固掌握相关性质定理并正确计算，是解题的关键．(1)①根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形的性质解答即可；②利用锐角三角函数的定义求出AC与BC、DF与CF的关系，利用三角形的面积公式得出S△CDFS△ABC =CF2BC2=910，然后根据正弦的定义可求出∠CBF的正弦值；(2)分两种情况求解：①当点D在直径AB下方的圆弧上时；②当点D在直径AB上方的圆弧上时，利用勾股定理，分别求解．21.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F．(1)求证：△FBD∽△FAC；(2)如果BD平分∠ADC，BD=5，BC=2，求DE的长；(3)如果∠CAD=60°，DC=DE，求证：AE=AF．【答案】(1)证明：∵∠ADB=∠ACB，∠AFC=∠BFD，∴△FBD∽△FAC；(2)解：∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ACB=∠BDC，∵∠EBC=∠CBD，∴△BEC∽△BCD，∴BCBE =BDBC，∴2BE =52，∴BE=45，∴DE=BD−BE=5−45=215；(3)证明：∵∠CAD=60°，∴∠ABF=∠ADC=120°−∠ACD=120°−∠DEC，=120°−(60°+∠ADE)=60°−∠ADE，而∠F=60°−∠ACF，∵∠ACF=∠ADE，∴∠ABF=∠F，∴AB=AF．∵四边形ABCD内接于圆，∴∠ABD=∠ACD，又∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC=∠AEB，∴∠ABD=∠AEB，∴AB=AE．∴AE=AF．【解析】(1)可得出∠ADB=∠ACB，∠AFC=∠BFD，则结论得证；(2)证明△BEC∽△BCD，可得BCBE =BDBC，可求出BE长，则DE可求出；(3)根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明AB=AF；根据等腰三角形的判定与性质和圆周角定理可证明AE=AB，则结论得出．本题是圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．22.〖模型〗如图1，在四边形ABCD中，连接AC，BD，交点为M，∠ACB=∠ADB.E为BD上一点，∠BAC=∠DAE求证：△ABE∽△ACD〖探究〗(1)如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，△ABC是等边三角形求证：BD=AD+CD(2)如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，BC是⊙O的直径，AB=AC.试用等式表示线段AD，BD，CD之间的等量关系，并说明你的理由．【答案】〖模型〗证明：∵∠ADB=∠ACB，∠DMA=∠CMB，∴△DMA∽△CMB，∴DMCM =AMMB，又∵∠AMB=∠CMD，∴△AMB∽△DMC，∴∠ABE=∠DCA，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE+∠EAM=∠DAC+∠EAM，∴∠BAE=∠DAC，∴△ABE∽△ACD；〖探究〗证明：(1)延长CD至M，使DM=AD，连接AM．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADM=∠ABC=60°，∵AD=DM，∴△ADM是等边三角形，∴∠DAM=60°，又∵∠BAD=60°+∠CAD，∠CAM=60°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAM，在△ABD和△ACM中，∴△ABD≌△ACM(SAS)．∴BD=CM=CD+DM=CD+AD；〖探究〗证明：(2)过点A作AH⊥AD，交BD于点H．∵BC为直径，∴∠BAC=90°．∵AB=AC，∴∠ACB=45°．∵∠ADB=∠ACB=45°，∴△AHD为等腰直角三角形．∴AH=AD，DH=√2AD．∵∠BAH+∠HAC=90°，∠HAC+∠CAD=90°，∴∠BAH=∠CAD．在△ABH和△ACD中，∴△ABH≌△ACD(SAS)，∴BH=CD，∴BD=BH+DH=CD+√2AD．【解析】本题主要考查了圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，等腰直角三角形．〖模型〗先证明△DMA∽△CMB，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，然后再证明三角形△AMB∽△DMC，根据相似三角形的性质可得角相等，从而可证明两个三角形相似；〖探究〗(1)延长CD至M，使DM=AD，连接AM，根据等边三角形的性质可得AB= AC=BC，∠ABC=60°，利用A、B、C、D四点共圆，可得∠ADM=∠ABC=60°，再证明△ADM是等边三角形，利用等边三角形的性质可得∠DAM=60°，然后利用SAS证明△ABD≌△ACM，利用全等三角形的性质可得结论；〖探究〗(2)过点A作AH⊥AD，交BD于点H，根据圆周角定理可得∠BAC=90°，证明△AHD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得AH=AD，DH=√2AD，再证明△ABH≌△ACD可得结论．23.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E．(1)求证：BD=CD．(2)若弧DE=54°，求∠AED的度数．(3)过点D作DF⊥AB于点F，若BC=12，AF=3BF，弧BD的长．【答案】(1)证明：如图，连接AD，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB=AC，∴BD=CD；(2)解：∵弧DE=54°，∴∠EOD=54°，且OE=OD，∴∠OED=12(180°−54°)=63°．∵由(1)知，AD⊥BD，则∠ADB=90°，∴∠BAD=∠DAE，OA=OE，∴∠OEA=∠OAE=54°，∴∠AED=∠OED+∠OEA=117°；(3)∵BC=12，BD=CD，∴BD=6．设半径OD=x.则AB=2x．由AF=3BF可得AF=34AB=32x，BF=14AB=12x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2=BF⋅AB，即62=12x⋅2x．解得x=6．∴OB=OD=BD=6，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD=60°．∴弧BD的长是：60π×6180=2π．【解析】略24.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作AB的垂线交AC的延长线于点F．(1)求证：BE⏜=DE⏜；(2)过点C作CG⊥BF于G，若AB=5，BC=2√5，求CG，FG的长．【答案】(1)证明：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴∠EAB=∠EAC，∴BE⏜=DE⏜；(2)解：∵BF⊥AB，CG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB=∠AEB=∠ABF=90°，CG//AB∵∠CBG+∠ABC=90°，∠ABC+∠BAE=90°，∴∠CBG=∠BAE，∴△BCG∽△ABE，∴CGBE =BCAB，∴√5=2√55，∴CG=2，∵CG//AB ， ∴CF AF=CGAB，∴CF CF+5=25， ∴CF =103，∴FG =√CF 2−CG 2=√(103)2−22=83．【解析】本题属于相似形综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．(1)连接AE ，利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠EAB =∠EAC 即可解决问题． (2)证明△BCG∽△ABE ，可得CGBE =BCAB ，由此求出CG ，再利用平行线分线段成比例定理求出CF ，利用勾股定理即可求出FG ．25. 如图，⊙O 的直径AB =5，弦AC =4，连接BC ．(1)尺规作图：作弦CD ，使CD =BC(点D 不与点B 重合)，连接AD ；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)所作的图中，求四边形ABCD 的周长． 【答案】解：(1)如图，线段CD 即为所求．(2)连接BD，OC交于点E，设OE=x．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴BC=√AB2−AC2=√52−42=3，∵BC=CD，∴BC⏜=CD⏜，∴OC⊥BD于E．∴BE=DE，∵BE2=BC2−EC2=OB2−OE2，∴32−(52−x)2=(52)2−x2，解得x=710，∵BE=DE，BO=OA，∴AD=2OE=75，∴四边形ABCD的周长=3+3+5+75=625．【解析】本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．(1)以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．(2)连接BD，OC交于点E，设OE=x，构建方程求出x即可解决问题．26.如图，在ΔABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．(1)求证：OD⊥BE．(2)若DE=√6，AB=6，求AE的长．(3)若ΔCDE的面积是ΔOBF面积的23，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．【答案】(1)证明：连接AD，∵AB是直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∵AB=AC，∴∠CAD=∠BAD，BD=CD，∴BD⏜=ED⏜，∴OD⊥BE；(2)解：∵∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∵BD=CD=DE，∴BC=2DE=2√6，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180°，∵∠CDE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CECB =DEAB，即2√6=√66，∴CE=2，∴AE=AC−CE=AB−CE=4；(3)解：∵BD=CD，∴S△CDE=S△BDE，∵BD=CD，AO=BO，∴OD//AC，∵△OBF∽△ABE，∴S△OBFS△ABE =(OBAB)2=14，∴S△ABE=4S△OBF，∵S△CDES△OBF =23，∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴S△CDES△CAB =(CDCA)2=18，∴CDCA=2√2，∵BD=CD，∴BCAC =√2，即AC=√2BC．【解析】本题主要考查的是相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，垂径定理，圆内接四边形的性质等有关知识．(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及垂径定理即可证明；(2)先证△CDE∽△CAB得CECB =DEAB，据此求得CE的长，依据AE=AC−CE=AB−CE可得答案；(3)由BD=CD知S△CDE=S△BDE，证△OBF∽△ABE得S△OBFS△ABE =(OBAB)2=14，据此知S△ABE=4S△OBF，结合S△CDES△OBF =23知S△ABE=6S△CDE，S△CAB=8S△CDE，由△CDE∽△CAB知S△CDES△CAB=(CD CA )2=18，据此得出CDCA=12√2，结合BD=CD求解即可．27.如图，⊙O的直径AB为20cm，弦AC为12cm．(1)如图1，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，弦长AD长度为___________；(2)如图2，若AF平分∠CAB，且AF交⊙O于点F，AF的长是____________；(3)如图3，点P为弧BĈ上动点，连接AP，作CH⊥AP，垂足为H，线段BH的最小值是_____________．【答案】解：(1)10√2cm；(2)8√5cm；(3)2√73−6cm．【解析】【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点H的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．(1)如图1，连接BD，根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB=90°，由CD平分∠ACB，推出AD⏜=BD⏜，得到AD=BD，解直角三角形即可得到结论；(2)如图2，连接OF，过F作FE⊥AB于E，根据勾股定理得到BC=√AB2−AC2=16cm，，根据角平分线的定义得到∠CAB=2∠FAB，由圆周角定理得到∠FOB=2∠FAB，等量代换得到∠CAB=∠FOE，根据相似三角形的性质得到OE=6，EF=8，根据勾股定理即可得到结论；(3)以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC.在点P移动的过程中，点H在以AC为直径的圆上运动，当O′、H、B共线时，BH的值最小，最小值为O′B−O′H，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．【解答】解：(1)如图1，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴AD⏜=BD⏜，∴AD=BD，∵AB为20cm，AB=10√2cm；∴AD=√22(2)如图2，连接OF，过F作FE⊥AB于E，∵∠C=90°，AB=20，AC=12，∴BC=√AB2−AC2=16cm，∵AF平分∠CAB，∴∠CAB=2∠FAB，∵∠FOB=2∠FAB，∴∠CAB=∠FOE，∵∠C=∠OEF=90°，∴△ABC∽△EFO，∴OEAC =EFBC=OFAB=12，∴OE=6，EF=8，∴AE=AO+OE=16，∴AF=√AE2+EF2=8√5cm；(3)如图3，以AC为直径作圆O′，连接BO′．∵CH⊥AP，∴∠AHC=90°，∴在点P移动的过程中，点H在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵AB=20cm，BC=16cm，AC=12cm．在Rt△BCO′中，BO′=√BC2+O′C2=√162+62=2√73，∵O′H+BH≥O′B，∴当O′、H、B共线时，BH的值最小，最小值为O′B−O′H=2√73−6cm．故答案为(1)10√2cm；(2)8√5cm；(3)2√73−6cm．28.如图，在△ABC中，AB=AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点，(1)求证AB是圆的直径；(2)若AB=8，∠C=60°，求阴影部分的面积；(3)当∠A为锐角时，试说明∠A与∠CBE的关系．【答案】解：(1)连结AD，∵D是BE⏜中点，∴∠BAD=∠CAD，又∵AB=AC，∴AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴AB是⊙O直径；(2)连结OE，∵∠C=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠BOE=120°，∠AOE=60°，∴∠OBE=30°，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵AB=8，∴OB=4，AE=4，BE=4√3，点O到BE的距离为2，∴S阴影=S扇形AOE+S△BOE=60⋅π×42360+12×2×4√3=83π+4√3．(3)由(1)知AB是⊙O的直径，∴∠BEA=90°，∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠EBC=∠CAD，∴∠CAB=2∠EBC．【解析】本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．(1)连接AD，根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，根据圆周角定理的推论证明；(2)连接OE，根据S阴影=S扇形AOE+S△BOE计算即可；(3)由(1)知AB是直径，得到∠BEA=90°，根据余角的性质得到∠EBC=∠CAD，等量代换即可得到结论．29.如图1，△ABC内接于⊙O，点D是AB⏜的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E．(1)求证：△ADE∽△CDA．(2)如图2，若⊙O的直径AB=4√6，CE=2，求AD和CD的长．【答案】解：(1)∵点D是ADB⏜的中点，∴AD⏜=BD⏜∴∠ACD=∠BAD，∵∠ADE=∠CDA∴△ADE∽△CDA(2)连结BD，∵点D时ADB⏜的中点，∴AD=BD∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD=√2=√6√2=4√3，由(1)得△ADE∽△CDA，∴ADCD =EDAD，即AD2=CD⋅ED，∴(4√3)2=CD(CD−2)，∴CD2−2CD−48=0，解得CD=8或−6．∴CD=8．【解析】(1)点D是ADB⏜的中点，所以∠ACD=∠BAD，从而可证△ADE∽△CDA．(2)连结BD，先证明∠ADB=90°，AD=√2=√6√2=4√3，由(1)得△ADE∽△CDA，列出方程即可求出CD的长度．本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定以及圆的相关性质，本题属于中等题型．30.如图，△ABD内接于半径为5的⊙O，连结AO并延长交BD于点M，交⊙O于点C，过点A作AE//BD，交CD的延长线于点E，AB=AM．(1)求证：△ABM∽△ECA．(2)当CM=4OM时，求BM的长；(3)当CM=k⋅OM时，设△ADE的面积为S1，△MCD的面积为S2，求S1S2的值．(用含k的代数式表示)．【答案】解：(1)∵AE//BD，∴∠EAC=∠AMB，∵∠B和∠C都是AD⏜所对的圆周角∴∠B=∠C，∴△ABM∽△ECA；(2)∵r=5，CM=4OM，∴OM=1，CM=4，∴AB=AM=6，连结BC，由勾股定理得BC=√AC2−AB2=√102−62=8，过B作BF⊥AC，则BF=4.8，AF=√AB2−BF2=√62−4.82=3.6，∴FM=6−3.6=2.4，∴BM=√4.82+2.42=125√5；(3)∵CM=k·OM，∴OC=OA=(k+1)OM，AM=(k+2)OM，∵AE//BD，∴△ACE∽△MCD，∴AMMC =EDDC=k+2k，∵S1S△ADC =EDDC=k+2k，∴S1=k+2kS△ADC，∵S2S△ADC =MCAC=k2k+2，∴S2=k2k+2S△ADC,∴S1S2=k+2k:k2k+2=2(k+1)(k+2)k2．【解析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，相似三角形的判定，勾股定理，平行线分线段成比例，三角形的面积.关键是掌握圆周角定理，平行线分线段成比例和三角形面积.难度一般．(1)根据平行线的性质和圆周角定理得∠EAC=∠AMB和∠B=∠C即可解答；(2)连结BC，过B作BF⊥AC，先求得OM，CM，BC，AM的长，再利用勾股定理即可解答；(3)先利用平行线分线段成比例得AMMC =EDDC=k+2k，再根据同高的三角形面积的比等于底的比得S1=k+2k S△ADC,S2=k2k+2S△ADC即可解答 .31.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．(1)求证：OD⊥BE．(2)若DE=√6，AB=6，求AE的长．(3)若△CDE的面积是△OBF面积的23，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．【答案】(1)证明：连接AD，∵AB是直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∵AB=AC，∴∠CAD=∠BAD，BD=CD，∴BD⏜=ED⏜，∴OD⊥BE；(2)解：∵∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∵BD=CD=DE，∴BC=2DE=2√6，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180°，∵∠CDE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CECB =DEAB，即2√6=√66，∴CE=2，∴AE=AC−CE=AB−CE=4；(3)解：∵BD=CD，∴S△CDE=S△BDE，∵BD=CD，AO=BO，∴OD//AC，∵△OBF∽△ABE，∴S△OBFS△ABE =(OBAB)2=14，∴S△ABE=4S△OBF，∵S△CDES△OBF =23，∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴S△CDES△CAB =(CDCA)2=18，∴CDCA=2√2，∵BD=CD，∴BCAC =√2，即AC=√2BC．【解析】本题主要考查的是相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，垂径定理，圆内接四边形的性质等有关知识．(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及垂径定理即可证明；(2)先证△CDE∽△CAB得CECB =DEAB，据此求得CE的长，依据AE=AC−CE=AB−CE可得答案；(3)由BD=CD知S△CDE=S△BDE，证△OBF∽△ABE得S△OBFS△ABE =(OBAB)2=14，据此知S△ABE=4S△OBF，结合S△CDES△OBF =23知S△ABE=6S△CDE，S△CAB=8S△CDE，由△CDE∽△CAB知S△CDES△CAB=(CD CA )2=18，据此得出CDCA=12√2，结合BD=CD求解即可．32.如图，AB是⊙O的直径，点C为BD⏜的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．(1)求证：△BFG≌△CDG；(2)若AD=BE=2，求BF的长．【答案】证明：(1)∵C是BD⏜的中点，∴CD⏜=BC⏜，∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，∴BC⏜=BF⏜，∴CD⏜=BF⏜，∴CD=BF，在△BFG和△CDG中，∵{∠FGB =∠DGC ∠F =∠CDG BF =CD, ∴△BFG≌△CDG(AAS)；(2)如图，连接OC ，交BD 于H ，∵点C 是BD ⏜的中点， ∴OC ⊥BD ， ∴DH =BH ， ∵OA =OB ， ∴OH =12AD =1，∵OC =OB ，∠COE =∠BOH ，∠OHB =∠OEC =90°， ∴△COE≌△BOH(AAS)， ∴OH =OE =1， ∴OB =OE +BE =3， ∴CE =EF =√32−12=2√2， ∴BF =√BE 2+EF 2=2√3．【解析】此题考查了勾股定理，圆周角定理、垂径定理、三角形中位线定理，三角形全等的性质和判定．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法． (1)先证CD =BF ，然后根据AAS 证明△BFG≌△CDG ；(2)连接OC ，交BD 于H ，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得OH =1，证明△COE≌△BOH ，得到OH =OE =1，则OB =3，再利用勾股定理求得CE =EF =√32−12=2√2，进而可得结论．。