2020-2021初中数学二次函数的应用培优提升训练题3（附答案详解）一、单选题1．如图，曲线AB 是抛物线2481y x x =-++的一部分（其中A 是抛物线与y 轴的交点，B 是顶点），曲线BC 是双曲线(0)k y k x=≠的一部分．曲线AB 与BC 组成图形W ．由点C 开始不断重复图形W 形成一组“波浪线”．若点(2020,)P m ，(,)Q x n 在该“波浪线”上，则m n +的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．2020D ．2021 2．已知抛物线2114y x =+具有如下性质:抛物线上任意一点到定点()0,2F 的距离与到x 轴的距离相等.如图点M 的坐标为()3,6 , P 是抛物线2114y x =+上一动点，则PMF ∆周长的最小值是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．13．如图1，矩形ABCD 中，243AB BC ==，点P Q 、分别是BC AB 、上两动点，将PCD 沿着对折得，将沿着DP 对折得PED ∆，将PBQ ∆沿着PQ 对折，使P E F 、、三点在一直线上，设BP 的长度为x ，AQ 的长度为y ，在点P 的移动过程中，y 与x 的函数图象如图2，则函数图象最低点的纵坐标为（ ）A 2B ．32C ．74D 25 4．如图，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，D 是AC 的中点，点P 由点D 出发，沿△ABC 顺时针方向运动，速度为7cm /s ，同时，点Q 从C 出发，沿△ABC顺时针方向运动，速度为6cm/s，当点P追上点Q时，两点停止运动．设运动时间为t （s），△DPQ的面积为s（cm2），则s关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．5．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止，设P、Q同时出发t秒时，∆BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）所示，则下列结论：①BE=BC；②当t=6秒时，∆ABE ≅∆PQB；③点P运动了18秒；④当t=27 2秒时，∆ABE∽∆QBP．其中正确的是（）．A．①②B．①③④C．③④D．①②④6．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）A．B．C．D．7．如图，在矩形ABCD中，AB = 8，AD = 4，E为CD的中点，连接AE、BE，点M从点A出发沿AE方向向点E匀速运动，同时点N从点E出发沿EB方向向点B匀速运动，点M、N运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t，连接MN，设△EMN的面积为S，则S关于t的函数图像为（）A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=6，点O是线段BD上一动点，EF、GH 过点O，EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，GH∥BC，交AB于点G，交DC于点H，四边形AEOG的面积记为S，GB=a，则S关于a的函数关系图象是（）A．B． C．D．9．已知坐标平面内抛物线2y x 2x 3=-++和一点72,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点P 作直线l ，若直线l 与该抛物线有且只有一个交点，则这样的直线l 的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，在等腰直角ABC ∆中，8AB =，点M 从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，同时点N 从点C 出发沿CB 方向向点B 匀速运动，点M 、N 运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t ，连接MN ，设CMN ∆的面积为S ，S 关于t 的函数图象为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，抛物线22y x x =-++与x 轴交于点A 和点B .（1）已知点(,1)D m m +在第一象限的抛物线上，则点D 的坐标是_______．（2）在（l ）的条件下连接BD ，P 为抛物线上一点且DBP ∠=135，则点P 的坐标是_______．12．如右图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝12cm ，点P 是AB 边上的一个动点，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，当PB ＝___________时，四边形PECF 的面积最大，最大值为_____________.13．二次函数y＝23x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1、A2、A3、…、A2018在y轴的正半轴上，点B1、B2、B3、…、B2018在二次函数y＝23x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1、△A1B2A2、△A2B3A3、…、△A2017B2018A2018都为等边三角形，则△A2017B2018A2018的边长＝____________．14．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．15．如图，在正方形ABCD中，AB=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧，点E为弧BD上一点，作EH⊥BC于点H，则BE－EH的最大值为______．16．在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx-3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，a的取值范围是__________．17．如图，在△ABC中，∠ACB= 90︒，AC=3，CB=5，点D是CB边上的一个动点，将线段AD绕着点D 顺时针旋转90 ，得到线段DE，连结BE，则线段BE的最小值等于__________．18．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+5在x轴上方的图象沿x轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，将这个新函数的图象记为G（如图所示）．当直线y＝m 与图象G有4个交点时，则m的取值范围是_______．三、解答题19．把下列各数填在相应的大括号里：+2，﹣|﹣2|，﹣3，0，﹣312，﹣1.414，17，23，(﹣1)2正整数：{ }整数：{ }负分数：{ }正有理数：{ }．20．某检修站，甲小组乘坐一辆汽车，沿东西方向的公路进行检修线路，约定向东为正，从A地出发到收工时，行走记录为（单位：km）：+8，- 2，-13，-1，+10．同时，乙小组也从A地出发，沿南北方向的公路检修线路，约定向北为正，行走记录为：-7，+9，- 2，+8，- 6．（1）分别计算收工时，甲，乙两组各在A地的哪一边，分别距离A地多远？（2）若每千米汽车汽油消耗为0.3L，求出发到收工时两组各耗油多少升？21．（10分）如图，抛物线经过点A(﹣3，0)、B(1，0)、C(0，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点P(m ，n)是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在矩形ABCD 中，点(0,10),(8,0)A C . 沿直线CD 折叠矩形OABC ，使点B 落在OA 边上，与点E 重合．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx =+经过,D C 两点．（1）求,a b 及点D 的坐标；（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动， 同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动， 当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与ADE ∆相似？（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点 N ，使以M ，N ，C ， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点C 的坐标为（8，0），∠AOC＝60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M 、N （点M 在点N 的上方）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）设△OMN 的面积为S ，直线l 运动时间为t 秒（0≤t ≤12），求S 与t 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，t 为何值时，S 最大？并求出S 的最大值．24．如图，抛物线23y ax bx =+-经过点A （3，0），B （1-，0），与y 轴交于点C ，点P 是抛物线在第四象限内的一点.（1）求抛物线解析式；（2）点D 是线段OC 的中点，OP ⊥AD ，点E 是射线OP 上一点，OE=AD ，求DE 的长；（3）连接CP ，AP ，是否存在点P ，使得OP 平分四边形ABCP 的面积？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.25．如图，已知抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点A ，且经过()10B ,，()5,8C 两点，点D 是抛物线顶点，E 是对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于点D 对称．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：AFE CFE ∠=∠；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使AFP 与FDC △相似．若有，请求出所有符合条件的点p 的坐标；若没有，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y =﹣x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线y =﹣13（x ﹣m ）2+n 的顶点P 在直线y =﹣x +4上，与y 轴交于点C （点P 、C 不与点B 重合），以BC 为边作矩形BCDE ，且CD =2，点P 、D 在y 轴的同侧．（1）n =________（用含m 的代数式表示），点C 的纵坐标是________（用含m 的代数式表示）；（2）当点P 在矩形BCDE 的边DE 上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数解析式； （3）直接写出矩形BCDE 有两个顶点落在抛物线上时m 的值．27．如图1，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A(4，0)，与y 轴交于点B(0，4)，在x 轴上有一动点D9(m ，0)（0＜m ＜4），过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，交抛物线于点E ，（1）直接写出抛物线和直线AB 的函数表达式．（2）当点C 是DE 的中点时，求出m 的值，并判定四边形ODEB 的形状（不要求证明）． （3）在（2）的条件下，将线段OD 绕点O 逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A 、D′B ，求D′A+12D′B 的最小值．28．如图，抛物线22y ax bx =++交x 轴于(1,0)A -，()4,0B 两点，交y 轴于点C ，过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式；（2）连AC ，将直线AC 以每秒1个单位的速度向x 轴的正方向运动，设运动时间为1秒，直线AC 扫过梯形OCDB 的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，说明理由．29．如下图，抛物线2122y x x =-+与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作直线l x ⊥轴，点P 是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接OP 并延长交直线l 于点B ，连接AP 并延长交y 轴于点C ，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接BH ．设OH t =．（1）请直接写出A 点坐标并求出OBH S △的最大值；（2）如图1，随着点P 的运动，AB OC +的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；（3）连接BC ，如图2，则当点P 位于何处时，点O 到直线BC 的距离最大？请你求出此时点P 的坐标．30．如图1,抛物线23y ax bx =++交x 轴于(1,0)A -和(5,0)B 两点,交y 轴于点C ,点D 是线段OB 上一动点,连接CD ,将线段CD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ,过点E 作直线l x ⊥轴于H ,过点C 作CF l ⊥于F .(1)求抛物线解析式；(2)如图2,当点F 恰好在抛物线上时,求线段OD 的长；(3)在(2)的条件下:试探究在直线l 上是否存在点G ,使45EDG ︒∠=?若存在,请直接写出点G 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1．B【解析】【分析】根据题意可以求得点A 、点B 、点C 的坐标和k 的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m 的值和n 的最大值．【详解】解：∵()22y 481415x x x =-++=--+∴当x 0=时，y 1=∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（1,5），∵点B （1,5）在y k x =的图象上 ∴k 5=∵点C 在5y x=的图象上，点C 的横坐标为5 ∴点C 的纵坐标是1∴点C 的坐标为（5,1）∵20205404÷=∴P（2020，m ）在抛物线2y 481x x =-++的图象上 m 40801=-⨯+⨯+∵点Q(x ，n)在该＂波浪线＂上∴n 的最大值是5，故m+n 的最大值为6故选：B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的性质，根据二次函数顶点式得出最大值是解题关键．2．C【解析】【分析】作过P 作PH x ⊥轴于点H ，过点M 作MH x ⊥轴于点'H ，交抛物线2114y x =+于点P '，由PF PH =结合，结合点到直线之间垂线段最短及MF 为定值，即可得出当点P 运动到点P′时，△PMF 周长取最小值，再由点F 、M 的坐标即可得出MF 、MH '的长度，进而得出PMF ∆周长的最小值．【详解】解：作过P 作PH x ⊥轴于点H ，由题意可知：PF PH =，∴PMF ∆周长=MF MP PF MF MP PH ++=++，又∵点到直线之间垂线段最短，∴当M 、P 、H 三点共线时MP PH + 最小，此时PMF ∆周长取最小值，过点M 作MH x ⊥轴于点H ' ，交抛物线2114y x =+于点P '，此时PMF ∆周长最小值， (0,2)F 、(3,6)M ，'6MH ∴=，22(30)(62)5FM -+-=，PMF ∴∆周长的最小值6511ME FM =+=+=．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF 周长的取最小值时点P 的位置是解题的关键．3．C【解析】【分析】根据折叠的性质可得BPQ PDC ∠=∠，故可证得QBP PCD ∆∆∽，得到QB PB PC CD =，再代入,6,4BP x PC x QB y ===－－，可得()()446y x x -=-，再整理得：()217344y x =-+，根据二次函数的图像与性质即可求解． 【详解】由折叠性质可知90DPQ ∠=︒，90BPQ DPC DPC PDC ∠+∠=∠+∠=︒，BPQ PDC ∴∠=∠，又,ABC BCD ∠=∠QBP PCD ∴∆∆∽QB PB PC CD∴= 由243AB BC ==，得6BC =， ,6,4BP x PC x QB y ===－－ ∴464y x x -∴=- ∴()()446y x x -=-整理得：()()2173,0644y x x =-+≤≤， 故函数的顶点为73,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得函数顶点的纵坐标为74． 故选C ．【点睛】 此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质得到比例式，再根据二次函数的图像与性质求解．4．D【解析】【分析】分0≤t ≤37、37＜t ≤43、43＜t ≤117、117＜t ≤3四段，分别求出函数表达式即可求解． 【详解】解：①当0≤t ≤37时， s ＝12×DP ×CQ ＝12⨯7t ×6t ＝21t 2，该函数为开口向上的抛物线；②当37＜t≤43时，s＝12PQ×CD＝12×（6t﹣7t+3）×3＝32（3﹣t），该函数的一次函数；③当43＜t≤117时，如下图，过点Q作GQ⊥AC于点G，作QH⊥BC于点H，sin B＝ACAB＝35，则QH＝BQ sin B＝35BQ，同理QG＝45AQ，则PC＝7t﹣6，PB＝8﹣7t+6＝14﹣6t，BQ＝t﹣8，AQ＝18﹣（t﹣8）＝26﹣t，s＝S△ABC﹣（S△PDC+S△ADQ+S△BPQ）＝12⨯6×812-[3×（7t﹣6）+（14﹣7t）（t﹣8）×35+（26﹣t）×45]＝﹣2.1t2﹣13.5t+9.6，该函数为开口向下的抛物线；④当117＜t≤3时，同理可得：s＝﹣65t+185，该函数为一次函数；故选：D．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．5．A【解析】【分析】选项①正确．根据图中的信息，求出BE、AD的值即可判断；选项②正确．根据SAS即可判断；选项③错误．求出BE+DE+CD的值，可知点P运动了22秒；选项④错误．当t=272秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，由此即可判断．【详解】解：由图像可知，AD=BC=5×2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6，∴BE=BC，故①正确，如下图所示，当t=6秒时，点P在BE上，点Q静止于点C处，在△ABE与△PQB中，12=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AE PBBE BC∴△ABE≌△PQB（SAS），故②正确，在Rt△ABE中，22221068=-=-=AB BE AE∴BE+DE+DC=10+4+8=22，∴点P运动了22秒，故③错误，当t=272秒时，点P在线段DE上，点Q与点C重合，此时∠PQB≠90°，∴△ABE与△QBP不相似，故④错误．∴①②正确.故选：A．【点睛】本题考查二次函数综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂图中信息，利用信息解决问题，属于中考压轴题．6．A【解析】【分析】本题需先设正方形的边长为m ，然后得出y 与x 、m 是二次函数关系，从而得出函数的图象．【详解】解：设正方形的边长为m ，则0m >，AE x ， DH x ， AHm x ， 222EH AE AH ，22()yx m x ， 2222yx x mx m ， 2222y x mx m ， 22112[()]24xm m ， 22112()22x m m ， y ∴与x 的函数图象是A ．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，在解题时要能根据几何图形求出解析式，得出函数的图象．7．D【解析】【分析】证明△ABE 是等腰直角三角形，连接MB ，利用等高模型表示出△EMN ，△EBM ，△EAB 之间的关系即可解决问题．【详解】如图，连接MB ，∵E 为DC 中点， ∴DE=CE=4， ∴AD=DE=CD=BC=4，∵四边形ABCD 是矩形，∴90D C ∠=∠=︒，∴45DAE CBE ∠=∠=︒，∴45EAB EBA ∠=∠=︒ ，∴△EAB 是等腰直角三角形，由勾股定理AE ＝BE ＝42，已知，AM ＝t ，EN ＝t ，ME ＝NB ＝42t -，∵S △EMN ∶S △EMB =EN ∶EB ，∴S △EMN =EMB EN S EB⨯△， ∵S △EMB ∶S △EAB =EM ∶EA ，∴S △EMB =EAB EM S EA⨯△， ∴S=()22421114822t 2242224242t t t -⨯⨯⨯⨯=-+=--+，∵a =12-＜0， ∴当t ＝22时，S 的最大值为4.故选：D ．【点睛】本题以动点问题为背景，研究三角形面积的变化．通常三角形面积问题除了底乘高的一半，经常采用的是同底等高类的三角形面积关系．8．C【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得到DE 的值，进而得到AE 的值，根据面积公式计算即可；【详解】∵ABCD 是矩形，EF ∥AB ，GH ∥BC ，∴△△ABD EOD ， ∴AB AD EO ED=， ∵AB=4，BC=6，GB=a ，∴04E AG a ==-， ∴464a DE=-， 解得1232a DE -=， ∴1233622a a AE -=-=， ∴()2四边形334622AGOE a S AG AE aa a ==-=-+， 顶点坐标为()2,6，故答案选C ．【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，准确分析是解题的关键．9．D【解析】【分析】当直线与抛物线相切时，此时直线与抛物线只有一个公共点，这直线为：y=kx+b ，代入P 点坐标，求得k 、b 的关系式，再和抛物线联立方程组利用△=0求得直线解析式有2条；当直线与抛物线的对称轴平行时也有一条.【详解】 解：分类讨论： 情况一：当直线与抛物线的对称轴不平行时，设经过点P 且与抛物线只有一个公共点的直线解析式为：y=kx+b ，代入72,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴b=72k 2- ∵与抛物线只有一个交点∴kx+72k 2-=-x²+2x+3只有一个实数根， ∴(k-2)²-4×1(2k)2-=0， 解得：12x 22,x 22=-+=--.∴过P 点的直线与抛物线只有一个交点的直线有2条.情况二：当直线与抛物线的对称轴平行时，此时也与抛物线只有一个交点.故这样的直线有3条.故答案为：D.【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，正确的设出解析式，并用一个系数表示另一个系数是解答本题的关键.10．D【解析】【分析】利用等高模型搞清楚△CMN ，△CBM ，△CAB 之间的关系即可解决问题．【详解】如图，连接MB ，由勾股定理AC ＝BC ＝2，已知，AM ＝t ，EN ＝t ，MC ＝NB ＝t ，∵S △CMN ∶S △CMB =CN ∶CB ，∴S △CMN =CN CB×S △CMB ， ∵S △CMB ∶S △CAB =CM ∶CA ，∴S △CMB =CM CA×S △CAB ，∴1×2×4×8=122t +， ∵a=-12＜0，∴当t ＝S 的最大值为4.故选：D ．【点睛】本题以动点问题为背景，研究三角形面积的变化．通常三角形面积问题除了底乘高的一半，经常采用的是同底等高类的三角形面积关系．11．(1) (1,2)D (2) (4,18)P --【解析】【分析】（1）由题意把D 点坐标(,1)m m +代入函数解析式求出m ，并由D 点在第一象限判断点D 的坐标;（2）利用相似三角形相关性质判定PGE ∆≌EFB ∆，并根据题意设BF x =，则2EF x =，表示P ，把(2,3)P x x --代入函数解析式从而得解.【详解】解：（1）把D 点坐标(,1)m m +代入函数解析式22y x x =-++得212m m m +=-++解得1m =±∵D 点在第一象限∴0m >∴1m =∴(1,2)D（2）∵135DBP ∠=（135作为特殊角，处理方法是作其补角45）∴过点P 作PE DB ⊥延长线于点E∵45∠=PBE ，90BEP ∠=∴BEP ∆为等腰直角三角形∴BE PE =（因为90BEP ∠=，BE PE =，所以考虑构造一线三垂直，水平竖直作垂线） ∴过点E 作GF x ⊥轴于点F ，PG FG ⊥于点G∴PGE ∆≌EFB ∆∵(1,2),(2,0)D B∴tan 2DBA ∠=∴tan :2FBE EF BF ∠==设：BF x =，则2EF x =∴,2EG x PG x ==∴(2,3)P x x --（注意咱们设BF x =，x 为整数，P 点在第三象限，横纵坐标为负数，所以P 点的坐标表示要注意正负！）把(2,3)P x x --代入函数解析式得23(2)(2)2x x x -=--+-+解得0x =或6（0x =舍去）∴6x =∴(4,18)P --.【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查坐标轴上点的特点，对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．12．6【解析】【分析】【详解】利用锐角三角函数关系，设PB=xcm ，由∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm ，可得BC=AB×cos30°cm ），PE=12xcm ，，则EC=（）cm ，故四边形FCEP 的面积为：PE×EC=12x×（）=-4x 2x=-4（x 2-12x ）x-6）2故当x=6时，四边形PECF 的面积最大，最大值为故答案为6，【点睛】此题主要考查了矩形的面积公式以及锐角三角函数关系，得出矩形面积与x 的函数关系是解题关键．13．2018【解析】【分析】分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=32a，BB2=32b，CB3=32c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y=23x2中，求a、b、c的值，得出规律．【详解】解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=3a，BB2=3b，CB3=3c,在正△A0B1A1中，B1（32a，2a），代入y=23x2中，得2a=23×34a2，解得a=1，即A0A1=1，在正△A1B2A2中，B2（32b，1+2b），代入y=23x2中，得1+2b=23×34b2，解得b=2，即A1A2=2，在正△A2B3A3中，B3（32c，3+2c），代入y=23x2中，得3+2c=23×34c2，解得c=3，即A2A3=3，…依此类推由此可得△A2017B2018A2018的边长=2018，故答案为：2018．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．14．﹣45＜a＜47【解析】【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A、B坐标分别为（0，4），（6，4），∴线段AB的解析式为y＝4．机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．抛物线对称轴方程为：x＝2，机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y＝4只有一个交点．所以抛物线经过点A下方．∴﹣5a＜4解得a＞﹣45．4＝ax2﹣4ax﹣5a，△＝0即36a2+16a＝0，解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝49．当抛物线恰好经过点B时，即当x＝6，y＝4时，36a﹣24a﹣5a＝4，解得a ＝47综上：a 的取值范围是﹣45＜a ＜47 【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.15．3【解析】【分析】【详解】 过点A 作AF BE ⊥于F ，则090FAB FBA ∠+∠=，设BF =x ，由垂径定理得BE =2BF =2x ，∵090EBH FBA ∠+∠=，∴FAB EBH ∠=∠，又∵090AFB BHE ∠=∠=，∴△ABF ∽△BEH ，∴BF AB EH BE =，即：62x EH x =，∴213EH x =， ∴BE －EH=22112(3)333x x x -=--+， 当x =3时，BE －EH 的最大值为3.故答案为：3.16．a ＜-43或a≥13或a=-1 【解析】【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可求点B 的坐标，根据平移的性质可求点C 的坐标，根据坐标轴上点的坐标特征可求点A 的坐标，进一步求得抛物线的对称轴，然后结合图形，分三种情况：①a ＞0；②a ＜0，③抛物线的顶点在线段BC 上；进行讨论即可求解．【详解】直线y=4x+4中，令x=0代入直线y=4x+4得y=4，令y=0代入直线y=4x+4得x=-1，∴A（-1，0），B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；将点A（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx-3a中得0=a-b-3a，即b=-2a，∴抛物线的对称轴x=-222b aa a-=-=1；∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A（-1，0）且对称轴x=1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x=0代入抛物线得y=-3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴-3a＜4，a＞-43，将x=5代入抛物线得y=12a，∴12a≥4，∴a≥13；②a＜0时，如图2，将x=0代入抛物线得y=-3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴-3a＞4，∴a＜-43；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4=a-2a-3a，解得a=-1．综上所述：a＜-43或a≥13或a=-1．故答案为：a＜-43或a≥13或a=-1．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．172【解析】【分析】根据题意过E作EF⊥BC于F，根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC，根据全等三角形的性质得到DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，根据勾股定理得到BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2，即可得到结论．【详解】解：过E作EF⊥BC于F，∵∠C=∠ADE=90°，∴∠EFD=∠C=90°，∠FED+∠EDF=90°，∠EDF+∠ADC=90°，∴∠DEF=∠ADC，在△EDF和△DAC中，DEF ADCEFD CAD DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△EDF≌△DAC（AAS），∴DF=AC=3，EF=CD，设CD=x，则BE2=x2+（2-x）2=2（x-1）2+2，∴BE2的最小值是2，∴BE2.2．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，旋转的性质，二次函数的最值，勾股定理的应用，解题的关键是得出二次函数的解析式．18．-6＜m＜0【解析】【分析】根据题意，先求出新函数的顶点坐标，根据已知条件和结合函数图像，即可求出m 的取值范围.【详解】解：∵2225(1)6y x x x =-++=--+，∴原函数的顶点坐标为：（1，6），如图，根据折叠的性质，可得新函数图像G 的顶点坐标为：（1，6-），即点D 的坐标为（1，6-），当直线y=m 与图象G 有4个交点时，根据图像可知：m 的取值范围是：60m -<<；故答案为：60m -<<. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与几何变换、二次函数的性质等知识点，根据翻折变换规律得到抛物线G 的顶点坐标是解题的难点．19．+2，17，(﹣1)2；+2，﹣|﹣2|，﹣3，0，17，(﹣1)2；﹣312，﹣1.414；+2，17，23，(﹣1)2．【解析】【分析】按照有理数的分类填写：有理数分为整数和分数，整数又分为正整数和0、负整数，分数分为正分数和负分数．【详解】解：∵﹣|﹣2|=-2；(﹣1)2=1；∴ 正整数：{+2，17，(﹣1)2}；整数：{+2，﹣|﹣2|，﹣3，0，17，(﹣1)2}；负分数：{﹣312，﹣1.414}； 正有理数：{+2，17，23，(﹣1)2}； 【点睛】 本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．20．（1）甲在A 正东方向2km 处，乙在A 正北方向2km 处；（2）甲：10.2L ，乙：9.6L【解析】【分析】（1）将两组的各数依次相加，结合正负数的含义即可得出结论；（2）将两组数据各数的绝对值相加，得出路程，再乘以油耗即可得出结论．【详解】解：甲：()()()()82131102++-+-+-++=乙：()()()7928(6)2-+++-+++-=∴甲在A 正东方向2km 处乙在A 正北方向2km 处（2）甲：()82131100.3340.310.2L ++++⨯=⨯=乙：()792860.3320.39.6L ++++⨯=⨯=【点睛】本题考查的知识点是正负数，根据题目理解正负数所表示的含义是解此题的关键． 21．（1）y ＝﹣x 2﹣2x+3；（2）﹣32；（3）存在，(﹣2，3) 【解析】【分析】【详解】（本题满分10分）解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x+3）（x ﹣1），…………………………（1分）把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．…………………………（2分）（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，将A（﹣3，0），C（0，3）代入得到，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+3．…………………………（3分）当﹣3＜m＜0时，点P（m，n）在直线AC的上方，过点P作x轴的垂线交AC于Q．则P （m，﹣m2﹣2m+3），Q（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，＝﹣（m+）2+，…………………………（4分）∵﹣3＜m＜0，∴当m＝﹣时，PQ的值最大，…………………………（5分）此时S△PAC＝•PQ•AO＝PQ最大，∴m＝﹣32．…………………………（6分）（3）由A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），可得AB＝4，OB＝1，OC＝3，∵BC2＝10，∠CAO＝45°，∴BA2﹣BC2＝6，…………………………（7分）连接BC，过点B作AC的垂线交抛物线于D，交AC于H．则∠AHB＝90°，∠DBA＝∠CAO＝45°，∴DA2﹣DC2＝HA2﹣HC2＝AB2﹣BC2＝6，…………………………（8分）∵∠CAO＝∠DBA，∴BD，AC关于AB的垂直平分线的对称，即关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，∴点D与点C关于抛物线的对称轴x＝﹣1对称，…………………………（9分）∵C（0，3），∴点D的坐标为（﹣2，3）．…………………………（10分）22．（1）23163a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(3,10)D ；（2）当4013t =或257t =时，以,,P Q C 为顶点的三角形与ADE ∆相似；（3）存在符合条件的,M N 点，且它们的坐标为：①11(4,32),(4,38)M N ---；②22(12,32),(4,26)M N --；③333214(4,),(4,)33M N -. 【解析】【分析】（1）先求出OE=6，AE=4，设AD x =，根据勾股定理得到关于x 方程组，求出点D 坐标，根据待定系数法即可求解；（2）根据题意得到3,4,5AD AE DE ===，继而得到102PC t =-，然后分ADE QPC △△和 ADE PQC △△求解即可；（3）假设存在符合条件的,M N 点，分两种情况讨论：①EC 为平行四边形的对角线，②EC 为平行四边形的边，根据平行四边形性质即可求解．【详解】（1）四边形ABCO 为矩形，90,OAB AOC B ∴∠=∠=∠=8,AB CO == 10AO BC ==由题意得，.BDC EDC ∆≅∆90,10,8B DEC EC BC ED BD ∴∠=∠=====，由勾股定理得6,EO =1064AE ∴=-=，设AD x =，则8BD ED x ==-，由勾股定理，得2224(8)x x +=-，解得3x =， 3,(3,10)AD D ∴=∴抛物线G 过点(3,10),(8,0),D C∵抛物线G 对应函数的解析式为2y ax bx =+93106480a b a b +=⎧∴⎨+=⎩，解得：23163a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为：221633y x x =-+； （2）90,90,DEA OEC OCE OEC ∠+∠=∠+∠=DEA OCE ∴∠=∠由（1）可得3,4,5AD AE DE ===，而,2CQ t EP t ==，102PC t ∴=-，情况1：当90,PQC DQE ADE QPC ∠=∠=△△，CQ CP EA ED ∴=，即10245t t -=，解得：4013t = 情况2：当90,QPC DAE ADEPQC ∠=∠=△△ PC CQ AE ED ∴=，即10245t t -=，解得：257t = ∴当4013t =或257t =时，以,,P Q C 为顶点的三角形与ADE ∆相似；（3）假设存在符合条件的,M N 点，分两种情况讨论：①EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC 中点，若四边形MENC 是平行四边形，那么M 点必为抛物线顶点，则32(4,)3M ， 平行四边形的对角线互相平分， ∴线段MN 必被EC 中点(4,3)平分，则14(4,)3N -； ②EC 为平行四边形的边，则//,EC MN EC MN =，设(4,)N m ，则(48,6)M m -+或(48,6)M m +-；将(4,6)M m -+代入抛物线的解析式中，解得：38m =-，此时(4,38),(4,32)N M ---；将(12,6)M m -代入抛物线的解析式中，解得：26m =-，此时(4,26),(12,32)N M --；综上，存在符合条件的,M N 点，且它们的坐标为：①11(4,32),(4,38)M N ---；②22(12,32),(4,26)M N --；③333214(4,),(4,)33M N -．【点睛】本题为二次函数综合题，考查了勾股定理，轴对称，相似三角形分类讨论，平行四边形分类讨论等问题，综合性强解第（1）步关键是根据勾股定理列方程确定点D 坐标，第（2）（3）步要注意没有说明两个三角形对应边，平行四边形四个顶点顺序，故要注意分类讨论．23．（1）A（4，43），B（12，43）；（2）①0≤t≤4时，S＝3t2；②当4＜t≤8时，S＝23t；③当8＜t≤12时，S＝﹣32t2+63t；（3）当t＝8时，S最大＝163【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥OC于D，根据菱形的性质可得OA＝AB＝BC＝CO＝8，然后根据锐角三角函数即可求出OD和AD，从而求出点A和点B的坐标；（2）根据直线l与菱形相交的情况分类讨论，分别画出对应的图形，然后根据锐角三角函数和三角形的面积公式计算即可；（3）利用一次函数增减性和二次函数的增减性分别求出（2）中S的最值，最后取S的最大值即可．【详解】解：（1）过点A作AD⊥OC于D，∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为（8，0），∴OA＝AB＝BC＝CO＝8．∵∠AOC＝60°，∴OD＝OA·cos∠AOD=4，AD＝OA·sin∠3．∴A（4，3，B（12，3；（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：①0≤t≤4时，直线l与OA、OC两边相交，（如图①）．∵MN⊥OC，∴ON＝t．∴MN＝ON tan60°＝3t．∴S＝12ON•MN＝32t2；②当4＜t≤8时，直线l与AB、OC两边相交，（如图②）．S＝12ON•MN＝12×t×43＝23t；③当8＜t≤12时，直线l与AB、BC两边相交，（如图③）．设直线l与x轴交于点H．∵MN＝33t﹣8）＝33，∴S＝12OH•MN＝12×t×（33）＝﹣32t23；（3）由（2）知，当0≤t ≤4时，S 20，对称轴为直线t=0 ∴当t ＞0时，S 随t 的增大而增大∴S 最大＝242＝当4＜t ≤8时，S ＝t 中，＞0∴S 随t 的增大而增大∴S 最大＝，当8＜t ≤12时，S ＝﹣2t 2＝﹣2（t ﹣6）22＜0，对称轴为直线t=6∴当t ＞6时，S 随t 的增大而减小∴当8＜t ≤12时，S ＜综上所述，当t ＝8时，S 最大＝．【点睛】此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、求函数关系式、利用一次函数和二次函数求最值，掌握菱形的性质、锐角三角函数、三角形的面积公式、利用一次函数增减性和二次函数的增减性求最值是解决此题的关键．24．（1）223y x x =--，（2）2DE =，（3）（2，3-） 【解析】【分析】（1）抛物线的表达式为：()()()21323y a x x a x x =+-=--，故33a -=-，解得：1a =，即可求解；（2）过E 点作'EC OC 交OC 于点'C ，利用OP AD ⊥易证'OAD C OE ，则可根据AAS 证明'OADC OE 得到'3AO OC ，可得C 与'C 点重合，则有1322OD DC CE OC ，得到DCE 是等腰直角三角形，可求得DE =；。