2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限= (A)1 (B) (C)(D)【考点分析】：考察1∞型不定性极限。

【求解过程】：⏹ 方法一：利用求幂指型极限的一般方法：I =lim x→∞[x 2x−a x+b ]x=lim x→∞ex ln x 2(x−a )(x+b)归结为求222lim ln()()lim ln 11()()lim 1()()()lim ()()x x x x x w x x a x b x x x a x b x x x a x b a b x abx x a x b a b→∞→∞→∞→∞=-+⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥-+⎣⎦-+=⋅-+=- 因此，I =e a−b ，选C 【基础回顾】：对于一般的幂指型极限有：()()ln ()lim ()ln ()lim ()lim g x g x f x g x f x f x e e ==⏹ 方法二：利用第二个重要极限求解22()lim ()()lim lim 11()()()()()lim 1()()x xx x x xa b x abx x a x b x a bx x I x a x b x a x b a b x ab e x a x b e →∞→∞→∞-+⋅-+→∞-⎡⎤⎡⎤⎛⎫==+-⎢⎥ ⎪⎢⎥-+-+⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎡⎤-+=+=⎢⎥-+⎣⎦=2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦e ea b-eb a-【基础回顾】：一般地，对于1∞型极限，均可利用第二个重要极限求解： 设lim ()1f x =，lim ()g x =∞，则()()()lim(()1)()lim ()lim 1()1g x g x f x g x f x f x e⋅-⋅=+-⎡⎤⎣⎦=(2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且则= (A) (B) (C)(D)【考点分析】：隐函数求导 【求解过程】：⏹ 方法一：全微分法 方程(,)0y z F x x=两边求全微分得：12()()0y z F d F d x x ''+=，即12220xdy ydx xdz zdxF F x x --''+= 整理得 12122yF zF F dz dx dy xF F '''+=-''所以，122yF zF z x xF ''+∂=∂'，12F z y F '∂=-∂'。

代入即可求得z z x y z x y ∂∂+=∂∂。

选B. ⏹ 方法二：隐函数求导公式法记(,,),y z G x y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，对于隐函数(,,)0G x y z =,利用隐函数求导公式得： 122212221y z F F yF zF z GG x x x xz xF F x⎛⎫⎛⎫''⋅-+⋅- ⎪ ⎪''+∂∂∂⎝⎭⎝⎭=-==∂∂∂''⋅， 112211F F z G G x y z yF F x'⋅'∂∂∂=-=-=-'∂∂∂'⋅ 代入即可求得z z xy z x y∂∂+=∂∂。

选B 。

(,)z z x y =(,)0y z F x x=F 20,F '≠z z xy x y∂∂+∂∂x z x -z -方法三：复合函数求导法由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭可确定(,)z z x y =。

方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭两边分别对x,y 求偏导，注意(,)z z x y =。

由复合函数求导法则：对x 求偏导: 12221()0y z z F F x xx x ∂⎛⎫''⋅-+⋅-+= ⎪∂⎝⎭ 对y 求偏导：12110z F F x x y∂''⋅+⋅=∂ 解得：122yF zF z x xF ''+∂='∂ 12F zy F '∂=-'∂ 代入即可求得z zxy z x y∂∂+=∂∂。

选B 。

【方法总结】：上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。

要熟悉隐函数求导公式和复合函数的求导法则，复合函数求导容易出错，注意多加练习。

(3)设为正整数,则反常积分的收敛性(A)仅与取值有关 (B)仅与取值有关(C)与取值都有关(D)与取值都无关【考点分析】：反常积分的判敛法则，超纲题 【基础回顾】：利用反常积分的判敛法则 对瑕点为x b =的瑕积分()baf x dx ⎰，设()f x 在[,)a b 上连续，且()0f x ≥，有如下判敛准则：① 若lim()(),0,01,mx bb x f x k k m -→-=≤<+∞<<则()baf x dx ⎰收敛；② 若lim()(),0,1,mx bb x f x k k m -→-=≤<+∞≥则()baf x dx ⎰发散。

【求解过程】：因为1x -→=∞，所以x=1为瑕点。

而22110lim lim lim m m nx x x nx x x+++-→→→==，所以x=0是否为瑕点取决于21m n-是否为,mn ⎰m n ,m n ,m n负数。

I ==+⎰仅当与dx 都收敛，I 收敛，否则I 发散。

dx 的敛散性①0x +→2mx，与121201n mdx x-⎰敛散性相同，因为m,n 均为正整数，所以12n m -<1,所以121201n mdx x -⎰收敛，也收敛。

②0x +→2mx，dx 与21120m nxdx -⎰敛散性相同。

因为m,n 是正整数，所以21m n->-1, 若21m n-<0,则x=0为瑕点，一定存在常数p 满足2101p m n <-<<，使得2100lim lim 0p p m nx x xx +++-→→==，于是收敛。

当210m n -≥时，x=0不是瑕点，不是反常积分，它存在是一个常数。

的敛散性因为1211lim(1)lim 0mx x x --→→-== 而1012m <<，所以收敛。

所以，选D【自我总结】：若反常积分的结果能够通过计算获得，那么其敛散性可直接由计算获知。

若反常积分无法计算，那么其敛散性应由判别法获得。

本题属于由判别法获知反常积分的敛散性。

(4)= (A)(B)(C)(D)【考点分析】：考察利用积分定义求极限 【思路来源】：把和式化成二重积分定义的形式求解，把和式化成定积分定义的形式求解 【求解过程】：2222111111lim lim ()()(1)(1)nnn nn n n i j i j nn i n j ni j n n δ→∞→∞======⋅++⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ ⏹ 方法一：化成两个定积分定义式的乘积21111112200001111lim 1111111(1)(1)nnn n i j i n n j n n dx dy dx dy x y x y δ→∞===⋅⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭=⋅=++++∑∑⎰⎰⎰⎰，选D⏹ 方法二：化成二重积分定义式的形式记D 是正方形区域：{}(,)}|01,01x y x y ≤≤≤≤，21(,)(1)(1)f x y x y =++将D 的长与宽均n 等分，分成n 2个小正方形，每个小正方形面积是21n，于是n δ是f(x,y)在D 上的一个积分和。

1122001(,)(1)(1)(1)(1)n DDdxdy f x y dxdy dx dy x y x y δ===++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，选D(5)设为型矩阵为型矩阵,若则 (A)秩秩 (B)秩秩 (C)秩秩(D)秩秩【考点分析】：矩阵秩的相关公式 【求解过程】：2211lim()()n nx i j nn i n j →∞==++∑∑1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰11(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰112001(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰A m n ⨯,B n m ⨯,=AB E (),m =A ()m =B (),m =A ()n =B (),n =A ()m =B (),n =A ()n =B⏹ 方法一：利用矩阵秩的相关公式与性质直接求解r(AB)=r(E)=m, 由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤，所以(),()r A m r B m ≥≥ 又A 为m ×n 型矩阵，B 为n ×m 型矩阵，因此(),()r A m r B m ≤≤。

所以(),()r A m r B m ==。

选A方法二：利用矩阵秩的相关公式并利用排除法若m=n 则四个选项完全一样若m>n 则()(),()()r A r AB m r B r AB m ≥=≥=，与()min(,),()min(,)m n n m r A m n r B m n ⨯⨯≤≤矛盾故必是m<n, 因此r(A),r(B)均不可能是n,所以选A 【基础回顾】： 牢记()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,()min(,)m n r A m n ⨯≤ ⏹ 方法三：利用矩阵方程解的情况与矩阵秩的关系 设方程组BX=0，两边左乘A ，得 A(BX)=(AB)X=EX=XA(BX)=A O =0 => X=0,即BX=0有唯一零解，故()n m r B m ⨯=同理设方程组0TA X =，两边左乘TB ，得()()()T T T T T T B A X B A X AB X E X EX X =====()0T T T B A X B O == 0X ⇒=，即0T A X =有唯一零解，故()T n m r A m ⨯=，()m n r A m ⨯=，选A(6)设为4阶实对称矩阵,且若的秩为3,则相似于(A)(B)A 20,+=A A A A 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1110⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C)(D) 【考点分析】：矩阵特征值的求解，对称矩阵必相似于对角阵，相似矩阵的秩相等【求解过程】：⏹ 方法一：矩阵多项式方程与矩阵特征值的关系 ① 由20A A +=得矩阵Ａ的特征值λ满足方程20λλ+=，所以0,1λ=-② 由于Ａ为实对称矩阵，故Ａ可相似对角化，即~A ∧，对角阵∧对角线上的元素为Ａ的特征值③ 由于Ａ的秩为３，所以∧的秩也为３，所以∧对角线上的元素一个为０，其他为－１。