03～09级高等数学（A ）（上册）试卷答案2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分） 1.B 2.A 3.D二、填空题（每小题4分，共24分） 1.522.0=x ,第一类（跳跃）间断点3.(1)23432(5(1))2(1)(1)(1)(1) (01)234!-+-+-+-+-+-<<x e x e e e x x x x θθθ 4.(cos())cos()--x xy e xy dx x xy e5.(1)!--n6.222sin 2(cos )2sec '-+xf x x x 三、（每小题7分，共28分） 1.e2.lim 0→+∞=x3. 212()24(1)'=+-y e πππ 4.设222sin , 1=-=-dy d yt dx dx . 四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. (用函数的单调性来证明) 五、（6分）是一个相关变化率的问题，2144 /==t dsm s dtπ。
六、（8分）2>-a 时，有两个相异的实根；2=-a 时，有一个实根；2<-a 时，没有实根。
七、（6分）设3()()=F x x f x ，对()F x 在区间[0,1]上用罗尔定理即可得证。
八、（8分）所求点为(, )22P a 。
2004级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 3=n 2. 2=-a 3. ()10(0)90=f4.1(1,)2-- 5. ()()()()()211, 01211--+<<+-x x x θθ 二. 选择题(每小题4分,共16分) 1.C 2.D 3.C 4.D三. 计算题(每小题7分,共3 5分)1. 0111lim cot sin 6→⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭x x x x2. ()12sin 201sin 3e 1lim ln 12→⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x x x x x x e 3. ()21e d 2cos e +++=-x yx yx dy x y y x 4. 2222322d 1d 13 d 2(1)d 4(1)+==-++y y t x t t x t t . 5. 1,1,12===a b c （注意：分段点的导数一定要用导数的定义来求） 四.(8分) 用函数的单调性来证明。
五.(8分)所求的切点为16256(,)39，切线方程为3225639=-y x 。
六.(7分) 用单调有界原理来证明数列极限的存在性，然后求得lim 2→∞=n n x .七.(6分) 提示：对()x f 以及3()=g x x 用Cauchy 中值定理，然后再对()f x 在[]b a ,上用拉格朗日中值定理。
2005级高等数学（A ）（上）期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．22lim sin21x x x x →∞=+ 2． 34k = 3．d x y dx ππ==- 4．2232(1)(1)((1))2+-+-+-ee e x x o x 5．1,1a b ==-。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分） 6.C 7.C 8.C 9.B三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 10．1211。
3ln 2 12．1 13。
1()11(1)!2!()(12)+++-=+-n n n n n n n fx x x 14．22222d 2cos()d 22cos()x y e x x y y x xy y x y ++-=-+。
四．（本题共4道题，满分29分）15．（本题满分6分）（相关变化率问题）半径增加的速率是1(/)2cm s π。
16．（本题满分7分）用单调性来证。
（提示：设12()e 1ex xF x x -=--，则1122'()e(e1)2x x x F x -+=--，考虑12()e 12x xg x +=--的符号即可）。
17．（本题满分8分）所求点为()2P ，弦PQ的最短长度为 18．（本题满分8分）提示：（1）令()()=-F x f x x ，用罗尔定理即可得证。
(2) 利用(1)的结论，对()f x 在区间(,)(,)a c c b 、分别用拉格朗日中值定理即可得证。
2006级高等数学（A ）（上）期中试卷一. 填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分）1．0,1==x x ；第一类（跳跃）间断点，第二类（无穷）间断点2．1,1a b ==- 3．2()d d 1()f x y x f x '=+ 4．3,2a b ==-5．（1）sgn y x = （2）y x = （3）3y x =（4）201sinlimln(1)x x x x →+ 二.单项选择题（每题4分，满分12分） 1．C 2．B 3．D 。
三.计算题（每题7分，满分35分）1． 13 2. 6e - 3．1d 2d 3t y x==，212d 4d 27t y x ==4. ()(10)923()332030e x y x x x =++ 5. 4360x y -+=四.（8分）用单调有界原理，数列}{n x 单调递增，有上界1故收敛，且lim n n x →∞=五.（8分）用单调性证明。
六. (7分) 提示：对3()(1)()F x x f x =-用罗尔定理。
七．(6分) （1）令arctan 1()1n x g x x n =-+，(0,)x ∈+∞，01lim ()101n x g x n +→=->+， 1lim ()01n x g x n →+∞=-<+，故120x x ∃<<<+∞，使得12()0,()0n n g x g x ><， ()n g x 在区间12[,]x x 上连续，()n g x 在12(,)x x 内至少存在一个零点。
22arctan 1()n xx x g x x -+'=，记()22222()arctan ,()011x x h x x h x x x '=-=-<++，(0,)x ∈+∞，()(0)0,0h x h x <=>，即()0,0n g x x '<>，()n g x 在(0,)+∞内严格单调递减，()n g x 在(0,)+∞内至多存在一个零点。
()n g x 在(0,)+∞内存在唯一零点，即()n f x 在(0,)+∞内存在唯一零点，记为(0,)n x ∈+∞。
（2）由于11arctan arctan 1121n n n n x x x n n x ++=<=++，而arctan xx严格单调递减，故1n n x x +<，所以 1(1)arctan (1)2n n x x n π+≤<+，得lim n n x →∞=+∞，11(2)arctan limlim 1(1)arctan n n n n n nx n x x n x ++→∞→∞+==+ 。
2007级高等数学（A ）（上）期中试卷一.填空题（每小题4分，满分24分） 1．3,k a == 2． 1,1a b ==- 3．234412222()-+-++x x x x o x4．21e sin 2arctan 23x x x C π--+++ 5．11(,)42 6．2(1,)e ，24-e二.单项选择题（每题4分，满分12分） 7．D 8．B 9．C三.计算题（每小题8分，满分32分）10． 1 11. 22d (65)(1)d y t t x t++= 12．(10)102109()2()sin 225(21)cos 2245sin 2fx x x x x x x =-++⋅++⋅.13.1,1a b =-=-,切线方程为2=-y x .四(14).（8分）5320,02()2,2,2x f x x x x ≤<⎧⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩，在[0,2),(2,)+∞上连续，间断点2=x 为第一类的跳跃间断点。
五(15).（8分）用导数的定义证明，()21f x x '=+. 六(16). (8分) 略。
七(17)．(8分) 略。
一.填空题（每个空格4分，本题满分32分） 1．12-2．1,48k α== 3． 2d x y π==dx 4． (0)2y '=5．221(1)(1)((1))2x x o x -+-+- 6．82,55a b ==二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分） 7．D 8．B 9． C三.计算题（本题满分27分） 10．（7分）4x →= 11. （6分） 2ln sin lim2ln cos x x xx x→+∞+=+12．（7分）22226(1)2d y t t dx t ++=+，2124t d ydx==13. （7分）222222222224sin ()['()]4cos ()''()2cos ()'()d y x f x f x x f x f x f x f x dx=-++四(14).（7分）13,22a b ==（注意：分段点的导数要用导数的定义来求）. 五(15).（7分）3,0(),0sin x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，故0x =为第一类的跳跃间断点；(1,2,)x k k π==--为第二类间断点。
六(16). (9分) 利用11()ln 12x f x x x -=-+得单调性证明右边不等式；利用()ln g x x =得单调性证明左边不等式。
七(17)．(6分) 令()()'()F x b x f x α=-，利用罗尔定理证明。
一.填空题（每个空格4分，本题满分24分）1．11,28a b == 2．1211x dy e dx e =-=+ 3． '(0)12y π=+ 4． (2,1)- 5．3311()3!x x o x +++ 6． 3二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分） 7．D 8．B 9． C 三.计算题（本题满分36分）10． e 11. 18 12．3t dydx==202113t d ydx==， 13.()121312()2cos(2)2cos(2)2(1)cos(2)222n n n n n n n f x x x nx x n n x πππ-----=++++-+ 四(14).（8分）0=x 为第一类的跳跃间断点；12ln 3=x 为第二类的无穷间断点。