第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。
ED BA5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，PB ＝PC ，连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直平分BCAP6．如图,DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC ＝8厘米，AB ＝10厘米，则∆EBC 的周长为【 】A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米CEB DA7．如图，∠BAC ＝30°，P 是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ，PD ＝30 , 则AM ＝MD P BCA轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到． 轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是（x ，－y ）点P （x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是（－x ，y ）关于原点对称点P （x ，y ）关于原点对称的点的坐标是（－x ，－y ）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；考点三、轴对称变换及用坐标表示轴对称8．点 A（-3 ，2）关于 y 轴对称点的坐标是( )A （-3 ，-2）B （3 ，2）C （-3 ，2）D （2 ，-3）9．点P（a，b）关于 x 轴的对称点为P＇（1，-6），则A、B的值分别为( )A 1 ，6B -1 ，-6C -1 ，6D 1 ，-610.点P关于x 轴对称点P＇的坐标为（4，-5）,那么点P关于y轴对称点P"的坐标为：A (-4，5)B (4，-5)C (-4，-5)D (-5，-4)11.平面内点A(-1，2)和点B(-1，6)的对称轴是( )A.x轴B.y轴C.直线y=4D.直线x=-112.下列关于直线 x=1 对称的点是( )A 点（0 ，-3）与点（-2 ，-3）B 点（2 ，3）与点（-2 ，3）C 点（2 ，3）与点（0 ，3）D 点（2 ，3）与点（2 ，-3 )13.已知A(-1，-2)和B(1，3），将点A向______平移_______个单位长度后得到的点与点B 关于y轴对称．14.如下图：若正方形 ABCD 关于 x 轴与 y 轴均成轴对称图形，点A的坐标为（2，1），标出点 B 、C 、D 的坐标分别为：B( ， )，C( ， )，D( ， )。
15. 若A（m-1，2n+3）与B（n-1，2m+1）关于y轴对称，则m= ,n=16.已知a＜0，那么点P（-a²-2，2-a）关于x轴对称的对应点P'在第象限三、解答题17.已知点M（1-a，2a+2），若点M关于x轴的对称点在第三象限，求a的取值范围？18.已知点A的坐标为（2x+y-3，x-2y）。
它关于x轴对称的点A'的坐标为（x+3，y-4），求点A关于y轴对称的点的坐标。
19.如图，从△ABC到△A′B′C′是进行的平移变换还是轴对称变换，如果是轴对称变换，找出对称轴，如果是平移变换，是怎样平移的？20.如图，△ABC，求顶点A、B、C关于y轴对称点的坐标并在坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△EDF。
21.已知两点A（–1，2） B（3，1）（1）P点在X轴上移动。
求PA+PB的最小值。
（2）Q点在Y轴上移动。
求QA+QB的最小值。
（3）并求出P.Q的坐标。
考点四、作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形22．如图，Rt△ABC，∠C＝90°,∠B＝30°,BC＝8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP＋DP的最小值是23．已知等边△ABC，E在BC的延长线上，CF平分∠DCE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ.若AP＝PQ，求证∠APQ是多少度作点Q关于BE的对称点R，交BE于点H，从而可得ΔQCH≌ΔRCH,∠QCH=∠RCH=60度。
A ,C,R在同一直线上。
易证ΔPCQ≌ΔPCR,从而∠QPH=∠RPH,PR=PQ, ∠PQC=∠PRC.又由于AP=PQ,从而AP=PR,得到∠PRA=∠PAR∴∠BAP+∠PAC=∠PQC+∠QPC∴∠BAP=∠QPC即有：∠BAP+∠B=∠QPC+∠APQ即∠APQ=60º等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 特别的：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．考点五、等腰三角形的特征和识别24．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，DF∥AC 交AB 于F ，则四边形AFDE 的周长为______ 。
FE D AB C25．如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D 且EF ∥BC ，若AB ＝ 7，BC ＝ 8，AC ＝ 6，则△AEF 周长为【 】A. 15 B . 14 C. 13 D. 1826．如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，且AB ＝BC ＝CD ＝ED ＝EF,∠A＝20o,则∠FEB ＝________度．27．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_______28．如图：在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。
试说明DE ＝DF 。
F C D B EA29．如图,E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF ＝EF ，BD ＝CE.求证：△ABC 是等腰三角形.30．已知：如图，△ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，EF ∥BC 交AC 于点F ，交∠ACB 的外角平分线于点G ．试判断△EFC 的形状，并说明你的理由．AB C D GF E等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．考点六、等边三角形的特征和识别31．下列推理中，错误的是【】A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形32．如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。
求证：M是BE的中点。
33．已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE＝CF，BE、AF交于点D，则∠BDF＝ _________度34．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF•的形状是【】A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形E DC AB F角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.AB CP M N O角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.AB CP M N O三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．考点七、30°所对的直角边是斜边的一半35．如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB ＝8m ，∠A ＝30°，则DE 等于【 】A ．1mB ．2mC ．3mD ．4mEDCBA36．一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO ＝BO ＝40cm ，C0＝D0＝30 cm ，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB 刚好为120°，求桌面到地面的距离是多少？乙ODCBA37．如图，AB ＝AC ，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∠BAC＝120o，BC ＝6，则DE ＋DF ＝38．在ABC △中，120AB AC A =∠=︒，，AB 的垂直平分线交BC 于点F ，交AB 于点E ．如果1EF =，求BC 的长FECBA39．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F. 求证：CF ＝2BF.甲作图题专练1．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．2．已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．（1）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；作法：（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大作法：（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题AC··DO B变式练习1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN2．如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；3.如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q 的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．4、已知：如图点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；5、已知：如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．6、一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短？轴对称专题训练一、选择题（每题3分，共24分）1、下列图案中，不是轴对称图形的是（）A B C D2、（易错易混点）下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是（）A . 1 1 2 B. 2 2 5 C. 3 3 5 D. 3 4 53.如图，已知AC∥BD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（）A . ∠B=∠D B. ∠A=∠B C. AD=BC D. OA=OB4．（易错易混点）下列说法正确的是( )A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等C ．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D ．等腰三角形的两个底角相等5、如图，ABC △与A B C '''△关于直线l 对称，且7848A C '∠=∠=°，°，则∠B 的度数为（） A ．48°B ．54°C ．74°D ．78°6、如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于A. 70°B. 65°C. 50°D. 25°7、已知M （a ,3）和N （4，b ）关于y 轴对称，则2012()a b +的值为（ ）A.1 B 、－1 C.20097 D.20097-8、如图,∠BAC =110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ,则∠P AQ 的度数是( ) A.20° B. 40° C. 50° D. 60° 二、填空题（每题3分，共24分）9．轴对称是指____个图形的位置关系;轴对称图形是指____个具有特殊形状的图形. 10、有一条对称轴的三角形是_______三角形,有三条对称轴的三角形是______三角形. 11. 如图，在∆ABC 中，090=∠A ，BD 是∠ABC 的平分线，DE 是BC 的垂直平分线，则∠C =____.12、（易错易混点）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度．13、如图，在∆ABC 中，AB =AC ，050=∠A ，P 是∆ABC 内一点，且∠PBC = ∠PCA ，则∠BPC =_____.14、如图，△ABC 中,∠A =36°，AB =AC ，BD 平分∠ABC ,DE ∥BC ,则图中等腰三角形有_____________个.15、如图,△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,AE =3cm ,△ABD 的周长为13cm ,则△ABC 的周长为____________.16．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB •的对称点，线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是___________．三、解答题（17－20题每题10分，21题12分）17、右图（实线部分）补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案（不用写作法、保留作图痕迹）．请用一句话说明你的画图思路18、如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于Y轴对称的△A1B1C1，写出△ABC关于X轴对称的△A2B2C2的各点坐标。