几种典“形”的边界磁场问题
山东省费县第一中学 （273400） 孙广阔
带电粒子在有界磁场中的运动问题，是学生学习的难点，也是历年来高考考查的重点，综合性较强，解决这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用数学中的几何知识，体现着数理有机结合的思想。

下面以有界磁场的形状为依据，对此类问题进行归类解析，以探究其求解规律。

一、带电粒子在单边界磁场中的运动
例题1：如图1所示，直线MN 上方有磁感应强度为B
的匀强磁场，磁场方向垂直直面向外。

正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 沿纸面射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
解析：正、负电子垂直进入磁场后做匀速圆周运动，向心力由洛仑兹力提供。

由qB m v R =和qB
m T π2=可知，它们运动的半径和周期是相同的，只是偏转方向相反。

先确定圆心，画出半径、轨迹如图。

利用几何关系和对称性可得：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形，所以两个射出点相距2R ，经历的时间相差2T/3。

即射出点相距Be mv s 2=，时间差为Be
m t 34π=∆。

二、带电粒子在双边界磁场中的运动
例题2：如图2所示，一束电子(电量为e )以速度v 垂直射入磁感强度为B ，宽度为d 的匀强磁场中，穿过磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则：
（1）电子的质量是 ，穿过磁场的时间是 。

（2）要使电子能从磁场的右边界射出，电子的速度v 必须满足什么条件？ 解析：（1）电子在磁场中运动，只受洛仑兹力f 作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f ⊥v ，故圆心
在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向的交点上，
如图2中的O 点，OB 为半径。

由几何知识知，粒子运动的轨道半径
r=d/sin30°=2d 。

又由r =mv /Be 可得m =2dBe/v
圆弧AB 所对的圆心角是30°，所以粒子穿过磁
场的时间t =T /12，即t =πd /3v 。

（2）电子进入磁场的速度越小，其运动的轨道半径越小，粒子可能从磁场的左边界射出。

当电子刚好从右
边界射出时，速度与右边界相切，轨迹如图中圆弧AB /所示。

此时电子的轨道半径M 图1
图2
r =d =mv/Be ，即v=Bed/m 。

所以，电子的速度v >Bed/m 时，电子能从磁场的右边界射出。

三、带电粒子在矩形边界磁场中的运动
例题3：长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图3所示，磁感强度为B ，板间距离也为L ，极板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：
A ．使粒子的速度v <BqL /4m ；
B ．使粒子的速度v >5BqL /4m ；
C ．使粒子的速度v >BqL /m ；
D ．使粒子速度BqL /4m <v <5BqL /4m 。

解析: 由左手定则可以判断，粒子在磁场中间向上偏转而作匀速圆周运动。

当圆周运动的半径大于某值r 1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r 2时粒子可从极板的左边穿出，情景如图所示。

由几何知识得： 当粒子擦着极板从右边缘穿出时，圆心在O 点，有：
r 12＝L 2+(r 1-L /2)2
解得r 1=5L /4
又由r 1=mv 1/Bq 得v 1=5BqL /4m
所以，当v 1>5BqL /4m 时，粒子能从右边穿出。

当粒子擦着上极板从左边缘穿出时，圆心在O ＇点，有： r 2＝L /4，
又由r 2＝mv 2/Bq =L /4得v 2＝BqL /4m
所以，当v 2<BqL /4m 时，粒子能从左边穿出。

综上可得正确答案是A 、B 。

四、带电粒子在圆形边界磁场中的运动
例题4：在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，
如图4所示。

一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的
交点A 处以速度v 沿－x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y 轴的交点C 处沿＋y 方向飞出。

（1）请判断该带电粒子带何种电荷，并求出其比荷m
q ； （2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B '，该粒子仍从A 处以相同的速度射入磁场，但飞
出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了︒60角，求磁场感应强度B '多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？
解析：当粒子对着圆形有界磁场的圆心射入磁场时，根据几何关系可知，粒子出射方向的反向延长线也必过有界磁场的圆心。

粒子的运动轨迹如图5所示。

图
4
+q 图3
O /
（1）由左手定则判断，该粒子一定带负电。

根据带电粒子的运
动轨迹可知，粒子的运动半径也为r 。

根据牛顿运动定律 r v m q v B 2=得：qB
m v r = 所以其比荷 Br v m q = （2）要使粒子飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了
︒60角，由几何关系可得粒子的运动半径为 r r R 360tan =︒= 同理，根据B q m v B '=得B B 3
3=' 粒子在该磁场中运动的时间 v
r B q m T t 332616ππ='⨯== 五、带电粒子在有界组合磁场中的运动
例题5：如图6所示，在一个圆形区域内，两个方向
相反都垂直于纸面内的匀强磁场分布在以直径A 2A 4为边
界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A 2A 4与A 1A 3的夹角为
60°．一质量为m ，带电量为+q 的粒子以某一速度从Ⅰ区
的边缘点A 1成30°角的地方射入磁场，随后该粒子以垂直
于A 2A 4方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A 4处射出磁
场． 已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t ，求Ⅰ
区和Ⅱ区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)．
解析：设粒子的入射速度为v ,已知粒子带正电，故
它在磁场中先顺时针作圆周运动，再逆时针作圆周运动，
最后从A 4点射出。

用B 1、B 2、R 1、R 2、T 1、T 2分别表示在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的磁感应强度、轨道半径和周期，则：
1
2
1R v m qvB =…………① 2
2
2R v m qvB =…………② 设圆形区域的半径为r ，如图7所示。

已知带电粒子过
圆心且垂直A 1A 2进入Ⅱ区磁场。

连接A 1A 2、△A 1OA 2为等
边三角形，A 2为带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的圆心，其轨道
半径R 1=A 1A 2=OA 2=r ……③
图
6 图
7
图5
带电粒子在Ⅱ区磁场中运动的圆心为A 4的中点，即r 21R 2=
……………④ 联立①②③④可得：122B B =…………⑤ 又因1
1122qB m v R T ππ==……⑥ 2
2222qB m v R T ππ==………⑦ 圆心角∠A 1A 2O=60°，带电粒子在Ⅰ区磁场中运动的时间为1161t T =
……⑧ 在Ⅱ区磁场中运动的时间为222
1t T = ………………………… ⑨ 带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间t =t 1+t 2………………⑩
联立⑤⑥⑦⑧⑨⑩可得：： qt m 65B 1π= ；qt
m 35B 2π= 综上分析可知，带电粒子垂直进入匀强磁场后，仅在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动。

当在有“形”边界磁场中运动时，轨迹为圆周的一部分。

解决此类问题的三个关键环节是：
（1）用好物理规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是圆周运动的周期公式、半径公式及特点。

（2）画清运动轨迹：即确定轨迹圆的圆心、半径，注意可能的多种情况，找出需要的临界情景、临界条件，蕴含的几何关系。

（3）找出数理联系：即轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系。

偏转角与圆心角、运动时间相联系，运动时间又与周期相联系。