x xi 1 x xi ( x) yi yi 1 xi xi 1 xi 1 xi
两种插值的数值算例
第三节 密切插值(osculating interpolation)
实际中数据处理的例子


测量细棒上若干个点处的温度（或房间 内若干个点处的温度、某区域若干个点 处的海水深度，汽车、飞机等的外形设 计，诸如此类的空间分布数据），试确 定细棒上各处的温度分布.当数据量较少， 且测量误差较小时，可用插值法；当数 据量很多，测量误差较大，或数据中含 较大的不确定性时，可用拟合法. 研究时间序列数据的变化趋势，常用拟 合法.
第二节 分段多项式插值

Runge现象揭示
1. 2. 3. 4.
n ( x) f ( x) 当n 时， 应尽量避免用高次多项式作为插值函数 低次多项式也有优点 兼顾各方，分段低次多项式插值，效果 更好

仅简单介绍分段线性插值
分段线性插值问题
已知函数 f ( x) 在 n 1 个观测点 x0 x1 xn 上的函 i 0,1, 2, , n .求函数 ( x)，满足 数值 yi ， ( x) 是线 , n 1) 上， ① 在每个小区间[ xi , xi 1 ] (i 0,1, 性函数（次数不超过1次的多项式）； i 0, 1, 2, , n. ② ( xi ) yi ， ( x) 称为分段线性插值函数. 分段线性插值的构造 当 x [ xi , xi1 ] (i 0, 1, , n 1) 时，
概论


日常生活中，尤其是科技活动中，人们越来 越频繁的和数据打交道，想方设法的获取数 据，千方百计地、认真细致地分析处理数据， 已成为研究许多问题的一个重要环节，一种 基本技术，甚至已成为一种较为通用的分析 问题、解决问题的思想方法. 本课件分三个部分:
1. 2. 3.
处理数据常用的插值方法和拟合方法简介 部分相关的matlab命令简介 与插值法或拟合法相关的建模案例
课程安排及要求



上课时间和地点 2011年夏季学期《数学建模实践》授课 安排_cao.xls 课程要求 以队（每队3人）为单位，每周完成1 ～2 篇论文，无期末考试，最终以全部论文的 总成绩作为课程成绩 参加全国大学生数学建模竞赛的资格问题 以课程成绩为主，结合往年有竞赛经验的 部分学生，自愿组队为主
第一章 插值方法

此类实际问题的基本特征（以两个变量情 况为例）
已知一组数据点 ( xi , yi ), i 1, 2, , n ，它对应一个确定 的函数关系 y f ( x) . 希望求出这个函数，或者求出 i 1, 2, , n . 它的一个近似函数 y ( x) ，满足 ( xi ) yi ，

例子
1.
2.
测量细棒上若干个点处的温度，确定出温度的 空间分布（两个变量间的一元函数）. 数控铣床加工精密工件问题（三个变量间的多 元函数）.
第一节 一元函数的多项式插值


插值问题提法：已知函数 y f ( x) 在 n 个互异的观 测点 xi (i 1, 2, , n)，上的函数值 yi (i 1, 2, , n) .求 函数 ( x)，满足 ( xi ) yi ， i 1, 2, , n . 则 ( x) 称为插值函数，f ( x) 称为被插值函数， xi (i 1, 2, , n) 称为插值节点. 这种提法存在问题
i 0
龙格(Runge)现象
1.
当插值节点个数很大时，一方面，插值多 项式次数越来越高；另一方面，插值多项 式与被插值函数取值一样的点的个数越来 越多.
2.
将区间[-5，5]分成10等分，11个分点
（含端点）作为插值节点（n 10 ），构造 函数
f ( x) 1 1 x2
的10次插值多项式 10 ( x)方法的三个基本问题 Nhomakorabea


数据的来源及数据的特点分析 分析处理数据的方法分析. 数据中所含误差对处理结果的影响.
方法使用情况对比

插值方法适用于：数据量较少，且精度 较高. 拟合方法适用于：数据量较多，且含有 较大的不确定性，如，数据中，同一点 处有多个观测值（可能不同）；再如， 社会、经济统计中，随机因素对数据的 影响较大，甚至与数据处于同一个数量 级，拟合方法特别适用于研究数据自身 所隐含的规律、趋势.
函数 li ( x) (i 0,1, 2, , n)称为 n 次Lagrange插值关于节 点 xi (i 0,1, 2, , n) 的节点插值基函数. 易得
li ( x)
n
(x x j ) ( xi x j )
n
(i 0, 1, 2,
, n)
即
j 0 j i
n ( x) yi li ( x)
1.
2. 3.
解存在唯一（通过指定插值函数应属的函数类实现） 插值多项式便于构造 代数多项式形式简单、性质良好
n次Lagrange插值多项式的构造
记函数 li ( x) (i 0,1, 2, , n) 满足 当 i 0,1, 2, , n 时
1, k i li ( xk ) (k 0,1, 2, 0, k i , n)
1. 2.
3.
解不唯一，需要附加条件！ 作为未知的被插值函数的一个近似，用于后续的分析 计算过程中，应具备形式简单、满足必要的分析性质、 便于进行各种分析运算. 在插值节点处，插值函数与被插值函数取值完全一致！ 插值法适用于那种观测数据精度较高的问题.
适定的代数插值问题

①
②

已知函数 y f ( x) 在 n 1个互异的观测点 xi (i 0,1, 2, , n) 处的函数值 yi (i 0, 1, 2, , n) .求函数 n ( x) ，满足 n ( x) 次数不超过 n 次的多项式 n ( xi ) yi ， i 0, 1, 2, , n . n ( x) 称为 n 次Lagrange插值多项式. 该问题满足