这里湍流动能的方程，方程右端各项依次为输运项，产生项和耗散项
D17
计算流体与传热传质
湍流模型
P ij ( ui ) ( uiu j uiu j ui u j ) ( uiuj ) t x j xi x j x j
Turbulent Kinetic Energy: k uiui / 2
ui ui u j Dissipation Rate of e Turbulent Kinetic Energy: x j x j xi
D20
计算流体与传热传质
湍流模型
D2
计算流体与传热传质
湍流模型
平均量输运方程

雷诺平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬时变量分解成平均量和 脉动量两部分。对于速度，有 ：

其中， 类似地，对于压力等其它标量，我们也有 ：
ui ui ui ui 和 ui 分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）

D16
计算流体与传热传质
湍流模型
上式右端第二项可以重新整理成：
ui ui ui k k ui ui ( ) ( ) ( ) e x j xi x j x j x j x j x j x j x j ij
u k (k) ( ku j ) ( k u j pu j ) uiu j i e t x j x j x j x j D ( k ) P e
ui u j 2 ui u ) k ij j t ( x j xi 3

仿照分子运动引起的粘性系数，我们可以假定涡旋粘性系数和湍流中含 能涡旋的特征长度和速度尺度成正比，即：

而根据确定速度尺度V和长度尺度L方法的不同，又可以细分为各种不同 的模型。而其中最简单，V和L的确定方法又是一致的模型应该是双方程 模型。
e ，频率
的模型方程为： ( ) ( u j ) [( t ) ] (C1 P C 2 ) t x j x j x j k
D19
计算流体与传热传质
湍流模型
Reynolds Stress Terms in RANS-based Models
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流模拟
D1
计算流体与传热传质
湍流模型
什么是湍流?

湍流：非定常，非周期性的三维速度脉动、 强化物质、动量和 能量的输运. 瞬时速度分解为平均速度和脉动速度: Ui(t) Ui + ui(t)
ui(t) U i (t) Ui Time

压力、温度、组分浓度值具有类似的脉动
湍流模型



0方程模型 单方程模型 双方程模型 雷诺应力模型 大涡模拟
D21
计算流体与传热传质
湍流模型
单方程模型: Spalart-Allmaras

湍流粘性系数:
~ / 3 ~ t ~ 3 3 / c 1

~ 求解 的输运方程: ~ D ~~ 1 cb1S Dt ~ x j
Rij ui u j

时间平均的湍流脉动用实验常数和流场平均速度信息来模拟. 大涡模拟（Large Eddy Simulation，LES）数值求解大涡，小 涡用模型.
D5
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流输运模型

涡旋粘性系数模型 涡旋粘性系数模型是根据湍流应力和分子运动引起的粘性应力相 似而提出来的 雷诺应力模型 雷诺应力模型则是从基本方程出发，直接推出雷诺应力的方程 ，但在雷诺应力的方程中包含有更高阶的相关项，对这些更高阶 的相关项再建立相应的模型。
湍流粘性系数:
t C
k2
e

Transport equations for turbulent kinetic energy and dissipation rate are solved so that turbulent viscosity can be computed for RANS equations.
ui u j 2 ul ij uiu j x x x 3 x j i l j


上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes（RANS）方程。
uiu j
如果要求解该方程，必须模拟该项以封闭方程。

Generation
2 ~ ~ ~ ~ cw1 f w 2 cb 2 x j d x j
Diffusion
Destruction

The additional variables are functions of the modified turbulent viscosity and velocity gradients.
D10
计算流体与传热传质
湍流模型
需要作出选择
物理流体 计算资源
湍流模型 和 近壁处理
计算网格
精度要求
计算时间要求
D11
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流模型
Zero-Equation Models
基于雷诺平均 （RANS）的模型
One-Equation Models
Spalart-Allmaras Include More Physics
2 u2 2 u3 2 u1
D8
计算流体与传热传质
湍流模型
判断湍流
外流
其中
Rex 5 10 5
ReD 20,000
内流
沿表面 绕流
UL ReL
L = x, D, Dh, etc.
其它因素，如自由流湍流度, 表 面条件, 扰动 可能导致流动从层 流向湍流转捩
P ij ( ui) ( uiuj uiu j uiuj ) ( uiuj ) t x j xi x j x j
乘以
ui
1 k uiui 并求平均，利用湍流动能的定义 2
ij u (k) ( ku j ) ( k u j Pu j ) ui uiu j i t x j x j x j x j

把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程，并取平均 （去掉平 均速度 ui 上的横线），我们可以把连续与动量方程写成如下的笛 卡儿坐标系下的张量形式
D3
计算流体与传热传质
湍流模型
平均量输运方程（续）
( ui ) 0 t xi
Dui p Dt xi x j
各项对 xk
e
ui 求导数，乘以 xk ，并求平均，可得耗散率
的方程
( e ) P u e ( e u j ) [ e uj 2 ] t x j x j xk xk x j ui ui uj ui ui u j ui uj ui 2 2 2 x j xk X k x j xk xk xk xk x j ui 2ui 2 2ui 2ui 2 ui 2 xk x j xk x j xk x j xk

D6
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流应力

湍流应力 uiu j 在三维空间中，下标和分别可取为1，2和3，所以湍 流应力有9个分量组成，是一个二阶张量，若用矩阵形式表示可写 为：
u2 uu uu 1 2 1 3 1 2 u2 u2 u3 ui u j u2u1 2 u3 u uu u3 1 3 2
D18
计算流体与传热传质
湍流模型
目前采用的标准k－e模型方程为
t e e ( e ) ( e u j ) [( ) ] (Ce1 P Ce2 e ) t x j x j e x j k
u P uiuj i x j
如果用湍流频率 代替湍流动能耗散率
t ~ VL
D13
计算流体与传热传质
湍流模型
涡旋粘性系数模型

在双方程模型中，假定特征速度V和湍流动能k的平方根成正比，特征长度由 湍流动能k和另外一个辅助的量确定。比如在k-e模型中，辅助的量选为湍流 动能的耗散率，根据量纲分析得长度尺度
L ~ k 3/ 2 / e
t ~ VL
k e
2
Re Dh 2,300
自然对流
Ra 108 1010
其中
gTL3 Ra
D9
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流特点

额外应变率

流向曲率 测向分离 加速或减速 有旋 回流 (或分离) 二次流

3D振荡流动 Transpiration (吹风/吸气) 自由湍流 剪切层相互作用

主对角线上的三个分量，和称为湍流正应力，其余的六个分量称 为湍流切应力。三个湍流正应力之和是湍流脉动动能的两倍
u3 ui u u2 ui 2k
2 1 2 2 i 1
D7
3
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流应力

若以主对角线上的三个分量作为对称轴，则对称的两个切应力分 量是相等的，很显然，这是一个对称的二阶张量。很容易可以证 明，在各向同性湍流中，湍流正应力的三个分量相等，即
D4
计算流体与传热传质
湍流模型
湍流模拟的方法

直接数值模拟（DNS）只适合低雷诺数流动。 求解雷诺平均的 Navier-Stokes (RANS) 方程: