2018年绵阳东辰国际学校高中招生考试数学试题参考答案一、选择题（每题4分，共40分)1-5 ADCDB 6-10 CDBBA 二、填空题 (每小题4分，共24分)11、7105.3⨯ 12、 22-<≤x 且1-≠x 13、346+14、-6或425- 15、-8 16、①②③④三、解答题17.（1）6 （8分） （2）()22+--x x x （4分）当 x=1时，原式=31（4分）18、（1）600； （2分） （2）120 图略A=30% C=20% （每个1分，共3分）（3）3200 （2分）（4）如图：∴共有12种情况，吃到C 粽子情况有3种，P （C 粽）=． （5分）19、解：（1）∵某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇，在城市销售数量x （箱），∴在乡镇销售数量t （箱）的关系为：t=60﹣x ，∴y 2=．故答案为：t=60﹣x ，............................2分Y 2=；......................2分（2）综合y1=和（1）中y2，当对应的x范围是0＜x≤20 时，W1=（x+5）x+（x+4）（60﹣x）=x2+5x+240；...................4分（3）当20＜x≤30 时，W2=（﹣x+7.5）x+（x+4）（60﹣x）=﹣x2+7.5x+240，∵x=﹣=＞30，∴W在20＜x≤30随x增大而增大，∴最大值x=30时取得，∴W=382.5（百元）．....................5分最大20、证明：（1）连结OD，如图1，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴=，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；........4分（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=2，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3，在Rt△DEP中，∵PD=，DE=，∴PE==2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，易证得△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：，∴AE=∵BE∥DF，∴△ABE∽△AFD，∴=，即=，解得DF=12，在Rt△BDH中，BH=BD=，∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD=S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD）=•12•﹣+•（2）2=9﹣2π；.....................5分（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵=，∴CD=BD=2，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，∴=，即=，∴xy=4，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，∴=，即=，整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的长为3．....................5分21、解：（1）∵一次函数y=x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0）∴0=﹣+m∴m=．∴一次函数的解析式为y=x+．∴点C的坐标为（0，）．∵y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是x=2，∴，解得∴y=﹣x2+x+．∴m的值为，抛物线C1的函数表达式为y=﹣x2+x+．.........5分（2）要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小连接BD交x=2于点F，因为点B与点A关于x=2对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．令y=﹣x2+x+中的y=0，则x=﹣1或5 ∴B（5，0）∵D（0，）∴直线BD解析式为y=﹣x+，∴F（2，）．令过F（2，）的直线M1M2解析式为y=kx+b1，则=2k+b1，∴b1=﹣2k 则直线M1M2的解析式为y=kx+﹣2k．解法一：由得x2﹣（4﹣4k）x﹣8k=0∴x1+x2=4﹣4k，x1x2=﹣8k∵y1=kx1+﹣2k，y2=kx2+﹣2k∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）∴M1M2======4（1+k2）M1F===同理M2F=∴M1F•M2F=（1+k2）=（1+k2）=（1+k2）=4（1+k2）=M1M2∴+===1；....................5分解法二：∵y=﹣x2+x+=﹣（x﹣2）2+，∴（x﹣2）2=9﹣4y设M1（x1，y1），则有（x1﹣2）2=9﹣4y1．B A CD 图1EFG∴M 1F===﹣y 1；设M 2（x 2，y 2），同理可求得：M 2F=﹣y 2．∴+===①．直线M 1M 2的解析式为y=kx +﹣2k ，即：y ﹣=k （x ﹣2）． 联立y ﹣=k （x ﹣2）与抛物线（x ﹣2）2=9﹣4y ，得： y 2+（4k 2﹣）y +﹣9k 2=0，∴y 1+y 2=﹣4k 2，y 1y 2=﹣9k 2，代入①式，得：+==1．.......................5分（3）设y 2与y=﹣x 的两交点的横坐标分别为x 0，x 0′，∵抛物线C 2：y 2=﹣（x ﹣h ）2可以看成由y=﹣x 2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x 0，x 0′的值不断增大∴当1＜x ≤m ，y 2≥﹣x 恒成立时，m 最大值在x 0′处取得 ∴当x 0=1时，对应的x 0′即为m 的最大值将x 0=1代入y 2=﹣（x ﹣h ）2=﹣x 得（1﹣h ）2=4，∴h=3或﹣1（舍） 将h=3代入y 2=﹣（x ﹣h ）2=﹣x 有﹣（x ﹣3）2=﹣x ∴x 0=1，x 0′=9．∴m 的最大值为9．.....................5分22、解析：（1）如图①，设正方形BEFG 的边长为x则BE ＝FG ＝BG ＝x∵AB ＝3，BC ＝6，∴AG ＝AB －BG ＝3－x ∵GF ∥BE ，∴△AGF ∽△ABC ∴AGAB＝GFBC，即3－x3 ＝x6解得x ＝2，即BE ＝2.............................................2分 （2）存在满足条件的t ，理由如下： 如图②，过D 作DH ⊥BC 于点H 则BH ＝AD ＝2，DH ＝AB ＝3由题意得：BB ′＝HE ＝t ，HB ′＝|t －2|，EC ＝4－tBA CD 图2EFGHB ′ M NADFGBA C D 图③E FGB ′ H在Rt △B ′ME 中，B ′M 2＝B ′E 2＋ME 2＝22＋(2－1 2 t )2＝ 14t2－2t ＋8∵EF ∥AB ，∴△MEC ∽△ABC∴MEAB＝ECBC，即ME3 ＝4－t6 ，∴ME ＝2－ 1 2t 在Rt △DHB ′ 中，B ′D 2＝DH 2＋B ′H 2＝32＋(t －2)2＝t2－4t ＋13 过M 作MN ⊥DH 于点N则MN ＝HE ＝t ，NH ＝ME ＝2－12t∴DN ＝DH －NH ＝3－(2－1 2 t )＝ 12t ＋1在Rt △DMN 中，DM 2＝DN 2＋MN 2＝54t2＋t ＋1（ⅰ）若∠DB ′M ＝90°，则DM 2＝B ′M 2＋B ′D 2即 5 4t2＋t ＋1＝(1 4 t 2－2t ＋8 )＋( t 2－4t ＋13 )，解得t ＝207........................2分 （ⅱ）若∠B ′MD ＝90°，则B ′D 2＝B ′M 2＋DM 2即t2－4t ＋13＝( 1 4 t 2－2t ＋8 )＋( 54t 2＋t ＋1 )，解得t 1＝－3＋ 17，t 2＝－3－17∵0≤t≤4，∴t ＝－3＋17........................................2分（ⅲ）若∠B ′DM ＝90°，则B ′M 2＝B ′D 2＋DM 2即 1 4t2－2t ＋8＝(t2－4t ＋13)＋( 54t 2＋t ＋1)，此方程无解 综上所述，当t ＝207或－3＋17时，△B ′DM 是直角三角形........................2分 （3）当0≤t≤4 3 时，S ＝ 14t2............................2分当 4 3≤t≤2时，S ＝－ 1 8 t 2＋t －23......................2分 当2≤t≤10 3 时，S ＝－3 8t2＋2t －53....................2分 当10 3≤t≤4时，S ＝－1 2 t ＋52.........................2分 提示：当点F 落在CD 上时，如图③FE ＝2，EC ＝4－t ，DH ＝3，HC ＝4 由△FEC ∽△DHC ，得FEEC＝DHHC即24－t＝34，∴t ＝43当点G 落在AC 上时，点G 也在DH 上（即DH 与AC 的交点） t ＝2当点G 落在CD 上时，如图④ GB ′＝2，B ′C ＝6－tBACD图③E FGB ′ HBACD图⑤E F GB ′MNBACD图⑥E FGB ′MNP Q BA CD 图⑦EF G B ′ PQ MN BACD图⑧E FG B ′P QNM由△GB ′C ∽△DHC ，得G ′BB ′C＝DHHC即26－t＝34，∴t ＝10 3当点E 与点C 重合时，t ＝4 ①当0≤t≤43时，如图⑤∵MF ＝t ，FN ＝12t∴S ＝S △FMN＝1 2 ·t ·1 2 t ＝ 14t2②当 43≤t≤2时，如图⑥∵PF ＝t －4 3，FQ ＝3 4 PF ＝ 34t －1∴S △FPQ＝1 2 ( t － 4 3 )( 3 4 t －1 )＝ 3 8 t 2－t ＋23∴S ＝S △FMN－S △FPQ＝ 1 4 t 2－( 3 8 t 2－t ＋ 2 3 )＝－ 1 8 t 2＋t －23③当2≤t≤103时，如图⑦ ∵B ′M ＝1 2 B ′C ＝1 2 ( 6－t )＝3－ 12t∴GM ＝2－(3－1 2t)＝12t －1∴S 梯形GMNF＝1 2 ( 1 2 t －1＋ 12t)×2＝t －1∴S ＝S 梯形GMNF－S △FPQ＝( t －1 )－( 3 8 t 2－t ＋ 2 3 )＝－ 3 8 t 2＋2t －53④当103≤t≤4时，如图⑧ ∵PB ′＝3 4 B ′C ＝ 3 4 ( 6－t )＝9 2－34t∴GP ＝2－(9 2－3 4t)＝3 4 t －52∴S 梯形GPQF＝1 2 ( 3 4 t － 5 2 ＋ 3 4 t －1 )×2＝ 3 2 t －72∴S ＝S 梯形GMNF－S 梯形GPQF＝( t －1 )－( 3 2 t － 7 2 )＝－ 1 2 t ＋52。