专题13 概率1．（我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112 B ．114 C ．115D ．118【答案】C【名师点睛】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.7【答案】B【解析】设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付，事件C 为既用现金支付也用非现金支付. 则()()()()P A B C P A P B P C =++.因为()()0.45,0.15P A P C ==，所以()0.4P B =.故选B.【名师点睛】本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题.由公式()()()()P A B C P A P B P C=++计算可得.3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D【名师点睛】分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能个数及事件“选中的2人都是女同学”的总可能个数，代入概率公式可求得概率.应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公式()mP An=求出事件A的概率.4．“上医医国”出自《国语・晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是A．13B．16C．14D．112【答案】A【解析】幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n=23C=3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率p=13．故选A.【名师点睛】先排好医字，共有23C种排法，再排国字，只有一种方法.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．5．已知随机变量X服从正态分布N(3,δ2),且P(x≤6)=0.9,则P(0＜x＜3)=A．0.4 B．0.5C．0.6 D．0.7【答案】A6．已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A．15B．35C．310D．910【答案】C【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、932、271，共3组随机数，故所求概率为3 10.故答案为C.【名师点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的可以通过列举得到共3组随机数，根据概率公式，得到结果．7．传说战国时期,齐王与田忌各有上等,中等,下等三匹马,且同等级的马中,齐王的马比田忌的马强,但田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强.有一天,齐王要与田忌赛马,双方约定:比赛三局,每局各出一匹马,每匹马赛一次,赢得两局者为胜.如果齐王将马按上,中,下等马的顺序出阵,而田忌的马随机出阵比赛,则田忌获胜的概率是A ．B ．C ．D ．【答案】C8．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P 到点O的距离大于l的概率为A．13B．23C．34D．14【答案】B【解析】设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，得P1＝322π13π12VV⨯⨯⨯半球圆柱＝＝13，故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－13＝23.故选B.9．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是A．0.01×0.992B．0.012×0.99C．13C0.01×0.992D．1－0.993【答案】D【名师点睛】本题主要考查了互斥事件概率的求法，解题的关键是熟练掌握互斥事件的概率和为1，属于基础题.根据题意求出事件“三盒中没有次品”的概率，然后根据互斥事件的概率和为1，即可得到答案.10．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为,从集合中任取一个元素,则函数是增函数的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】该程序的运行过程如下:x=-3,输出,输出,输出,输出,输出,输出,输出y=15,程序结束,故A={3,0,-1,8,15},其中有3个正元素,可使得函数是增函数,故所求概率为.故选C.11．设函数f(x)=e,01ln e,1ex xx x⎧≤<⎨+≤≤⎩在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f(x)的值不小于常数e的概率是A．1eB．1﹣1eC．e1e+D．11e+【答案】B12．（2018新课标I卷理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A【解析】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC △的面积为112S bc =， 黑色部分的面积为22221πππ2222c b a S bc ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2221π4442c b a bc ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭ 22211π422c b a bc bc +-=⋅+=，其余部分的面积为2231π1π2242a a S bc bc ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =. 故选A.【名师点睛】该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，之后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.13．（2018年江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 【答案】310【名师点睛】先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.14．（2018上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_____． 【答案】15【解析】编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个， 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况， 所有的事件总数为：35C =10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2，共两个， 所以这三个砝码的总质量为9克的概率是：210=15， 故答案为：15． 【名师点睛】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可．有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．15．已知向量()()2,1,,x y ==，a b 若{}{}1,0,1,2,1,0,1x y ∈-∈-，则向量∥a b 的概率为_______. 【答案】16【名师点睛】本题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．先求出基本事件的个数，利用向量平行确定满足∥a b 的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式求概率.16．（1）一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为____________；（2）有一批种子的发芽率为0.95，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为____________． 【答案】（1）49；（2）0.76． 【解析】（1）记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黑球”为事件B ．注意这里的问题与“求第一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样．方法一：显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率()644()()10915n AB P AB n Ω⨯===⨯， 由条件概率的计算公式，得4()415()6()9|10P AB P B A P A ===． 方法二：因为1169C C()n A =，1164C (C)n AB =，所以11641169C C ()4()()C C |9n AB P B A n A ===．（2）设“种子发芽”为事件A ，“种子成长为幼苗”为事件AB （发芽且成活为幼苗），则出芽后的幼苗成活率为()0|.8P B A =，()0.95P A =，根据条件概率公式()()()0.950.80.76|P AB P B A P A =⋅=⨯=，故在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为0.76．【名师点睛】（1）由条件概率的定义知，|()P B A 与|()P A B 是不同的；另外，在事件A 发生的前提下，事件B 发生的可能性大小不一定是()P B ，即|()P B A 与()P B 不一定相等．（2）()()()|P AB P B A P A =可变形为()()()|P AB P B A P A =⋅，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．如已知()P A ，()P AB 可求|()P B A ；已知()P A ，|()P B A 可求()P AB ．17．设集合1{|216}4x A x =<<,()2{|ln 3}B x y x x ==-,从集合A 中任取一个元素,则这个元素也是集合B 中元素的概率是__________．【答案】1 2【名师点睛】（1）本题主要考查集合的化简和运算，考查几何概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.先根据集合A，B，求出A∩B，再利用长度型的几何概型的意义求解即可．（2）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式()AP A=构成事件的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.18．设随机变量X的分布列为则a = ；E(X)= ．【答案】19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率. 【答案】（1）0.6；（2）0.8.【解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25， 由表格数据知，最高气温低于25的频率为216360.690++=，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. （2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时， 若最高气温不低于25，则Y =6⨯450-4⨯450=900；若最高气温位于区间 [20,25），则Y =6⨯300+2×（450-300）-4⨯450=300； 若最高气温低于20，则Y =6⨯200+2×（450-200）-4⨯450= -100. 所以，Y 的所有可能值为900,300，-100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为3625740.890+++=，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.【名师点睛】在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. （1）由前三年六月份各天的最高气温数据,求出最高气温位于区间[)20,25和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）当湿度大于等于25C 时,需求量为500 ,求出900Y =元；当温度在[)20,25时，需求量为300，求出300Y =元；当温度低于20C 时，需求量为200，求出100Y =-元，从而当温度大于等于20时，0Y >,由此能估计估计Y 大于零的概率.20．为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策,鼓励民众不开车低碳出行,某甲乙两个单位各有200名员工,为了了解员工低碳出行的情况,统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数,画出茎叶图如下:(1)若甲单位数据的平均数是122,求;(2)现从如图的数据中任取4天的数据(甲、乙两单位中各取2天),记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为,令,求的分布列和期望.【答案】（1）8；（2）见解析.【解析】(1)由题意,解得;(2)随机变量的所有取值有0,1,2,3,4.;;的分布列为:21．某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:(1)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定?(2)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?【答案】（1）不能；（2）；（3）【解析】(1)根据抽样调查数据,一、二等品所占比例的估计值为=,由于该估计值小于,故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定．(3)“质量提升月”活动前,该企业这种产品的质量指标值的均值约为=,“质量提升月”活动后,产品质量指标值近似满足,即质量指标值的均值约为.所以,“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了22．（2018天津理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i）见解析；（ii）67.【解析】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C C C k k-⋅（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，由（i ）知，P (B )=P (X =2)，P (C )=P (X =1)，故P (A )=P (B ∪C )=P (X =2)+P (X =1)=67． 所以，事件A 发生的概率为67．________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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