2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：华南师范大学增城学院参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：DVD在线租赁摘要问题（三）：题目需要我们回答购买各种DVD的数量来使95%的会员能看到他DVD想看到的DVD，并且要怎么分配才能使满意度达到最大；每种建立以总的购买数最小、会员满意度最大为双目标的规划模型。

通过确定在一个月内每张DVD的在每个会员中手中的使用率；然后通过c语言程序编程来确定每种DVD 的购买量；建立0-1规划模型；通过LINGO软件使满意度达到最大，来最终确定DVD的分配；一级，二级目标，将多目标规划转化为单目标；同时将第j种DVD的购买量y的整数约束去掉，求解出最小购买数为张。

将最小购买数作为约束条件，优j化满意度后，得到最大满意度为95%；然后对此时DVD的购买量y向上取整，得j到总购买数为186张。

当购买数为186张时，会员满意度达到97%。

三、模型假设1、租赁周期为一个月，每月租两次的会员可以在月中再租赁一次；2、同一种DVD每人只能租赁一次；3、DVD在租赁过程中无损坏；4、会员每月至少交一次订单；5、会员只有把前一次所借的DVD寄回，才可以继续下一次租赁6、月底DVD全部收回，继续下个周期的租赁；7、随着时间的推移，该网站的会员们的流动情况不会出现大变动。

四、符号说明一、问题的重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

考虑如下的在线DVD租赁问题。

顾客缴纳一定数量的月费成为网站会员，可以订购DVD租赁服务。

会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。

会员提交的订单包括多张基于其偏爱程度排序的DVD。

网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。

会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。

考虑回答下面问题：（1）网站准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？（2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

（3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

如果你是网站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？（4）如果你是网站经营管理人员，你觉得DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。

线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中。

二、问题的分析问题分析：题中列出了网站手上20种DVD 的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，要得到使会员获得最大满意度的DVD 分配方案，这可以通过建立线形规划模型来实现。

由于每个会员对不同DVD 的偏爱程度不同，且题中所给的列表中会员的在线订单中数字越小表示会员的偏爱程度越高。

由于每个会员可以按偏爱程度在20种DVD (可以参考)五、模型的建立与求解（一）：问题一由历史数据，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外40%的人只租一次。

由假设会员如果在当月归还了DVD ，一般会同时有第2次的租赁要求，因此认为有60%的会员在一个月有两次租赁需求，其他40%的会员为一次。

近似认为会员的需求基本上能满足，从而认为有60%的会员会在一个月内归还DVD ，另外40%则不能。

在一个月内归还的DVD 还可以满足另一个会员，又新购DVD 一般会较受欢迎，因此认为该DVD 一直在周转中，没有出现该DVD 空闲情况。

故可以合理地认为一张新DVD 在一个月内以60%的概率满足两个会员，40%的概率满足一个会员，从而一张DVD 的相对一个人来说使用率为 7.0%402%60=+；需要准备的j DVD 张数为j Q ；由调查结果1000个会员中愿意观看DVD 的购买量为i x 。

模型一、保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：7.0%501000100000⨯⨯⨯=j j x Q保证希望看到该DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：37.0%951000100000÷⨯⨯⨯=j j x Q模型的求解：当2001=x 时 保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数70007.0%5020010001000001=⨯⨯⨯=Q保证希望看到该DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：443437.0%9520010001000001=÷⨯⨯⨯=Q同理可得各种DVD 需要准备的张数，计算得下表1： 表1：各种DVD 需要准备的张数为了验证模型一的准确性：我们建立了模型二 模型二我们将每月租凭DVD 两次的会员平均分成两部分，一部分是在月初借DVD ，月中还DVD ；第二部分是在月中借DVD ，月末还DVD ；这样就将第一部分月初借的DVD 在月中的时候再借给第二部分；这样就能使需要准备的DVD 数达到最小。

保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：%50%)4010001000002%601000100000(⨯⨯+⨯⨯=j j j x x Q保证希望看到该DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：3%95%)4010001000002%601000100000(⨯⨯+⨯⨯=j j j x x Q 模型求解：保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：7000%50%)4020010001000002%602001000100000(=⨯⨯+⨯⨯=j Q保证希望看到该DVD 的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD 需要准备的DVD 的张数：44343%95%)6020010001000002%602001000100000(1=⨯⨯+⨯⨯=Q同理可得各种DVD 需要准备的张数，计算得下表2： 表2：各种DVD 需要准备的张数(二)、问题二会员i 对某种DVD 偏爱度ij c 的量化：会员对DVD 偏爱度ij c 是随着订单数字ij a ij (a 0)>时的增加而减少，其中会员对网站的满意度与满足会员的偏爱度是挂钩的；因此我们可用一非增函数来度量；从心理学的角度来看：随着ij a 的增加，相邻的两个订单数字之间的偏爱度的差会越来越小，所以我们定义了;⎪⎩⎪⎨⎧==01ij ij ij c a c00=≠ij ij a a 不同会员在对同一种DVD 偏爱指数相同时，我们在分配DVD 时优先考虑编号在前的会员。

要确定把那张DVD 租给哪个会员，才能使满意度达到最大，因此我们引入ij x 表示把第j 种DVD 是否租给第i 个会员；从问题我们可以看出这是一个如何分配的问题，我们不妨把其中现有DVD 的张数看成现有判断条件为需要完成的任务，把每一为会员看成完成这些任务的人选，其中他们对各种DVD 的偏爱度就代表他们完成相对应的任务的能力；我们就要使他们对各种任务的完成能力达到最大；iji i j j ij xc B ∑∑=====100011001max约束条件所有的会员分配到j 种DVD 的数量之和不能超过现有的第j 种DVD 的张数j i i ijb x<=∑==10001=j (1、2...100；ij x 为0-1变量)由于网站每次对每个会员DVD 的分配要么0张要么3张所以i j j u 3100=∑== （i=1、2、...1000；ij u 为0-1变量）对问题（2）建立0—1规划模型。

模型三： 目标函数；iji i j j ij xc B ∑∑=====100011001max约束条件：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=<=∑∑====3100010001j j ijj i i ij x b x （i u 、ij x 均为0-1变量；i=1、2....1000；j=1、2....100）； 模型求解： 用LINGO 数学软件实现对此题0-1规划模型的求解；执行的代码见附录一；可以获得的最大满意度为其中前30位会员（即C0001~C0030）获得DVD 情况如下表所示（三）：问题三问题三是问题一和问题二的结合，要求我们在确保95%的会员能得到他想看的DVD的前提下使会员对网站的满意度达到最大；在这里我们需要解决的问题如何使采购的DVD总数量最少；2、如何每种DVD的采购量，才能使客户的满意度达到最大；因此我们求出需要准备DVD总数的上下限，假定网站在一个月内分配给会员一次DVD （三张他想要看的DVD ）即认为会员得到他想看的DVD 。