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排列组合专题复习及经典例题详解

排列组合专题复习及经典例题详解1.学习目标掌握排列、组合问题的解题策略2.重点(1)特殊元素优先安排的策略:(2)合理分类与准确分步的策略;(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;(4)正难则反、等价转化的策略;(5)相邻问题捆绑处理的策略;(6)不相邻问题插空处理的策略.3.难点综合运用解题策略解决问题.4.学习过程:(1)知识梳理m种不完成一件事,有几类办法,在第一类办法中有1.分类计数原理(加法原理):1mm种不同的方法,类型办法中有种不同的方法……在第n同的方法,在第2类办法中有n2N?m?m?...?m 种不同的方法.那么完成这件事共有n12m种不步有个步骤,做第12.分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n1mm种不同的方法;那么完成这步有种不同的方法……,做第同的方法,做第2步有n n2N?m?m?...?m种不同的方法.件事共有n12特别提醒:分类计数原理与“分类”有关,要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性;分步计数原理与“分步”有关,要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏.3.排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n m?nm?n 时叫做全排列. 时叫做选排列,排列个不同元素中取出m个元素的一个,4.排列数:从n个不同元素中,取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同m P. 个元素的排列数,用符号表示元素中取出m n n!?m)?Nmn(m?)...()(1n?2n?m1)??,n、?(?Pnn5.排列数公式:n(n?m)!1mmm?mPPP??排列数具有的性质:nn1?n特别提醒:规定0!=116.组合:从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个不同元素,组成一组,叫做从n个不同元素中取m个不同元素的一个组合.7.组合数:从n个不同元素中取m(m≤n)个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个m C. 个不同元素的组合数,用符号表示不同元素中取出m nm Pn(n?1)(n?2)...(n?m?1)n!mn???C.组合数公式:8nm)!m!(n?m!mP mmn?mmmm?1C?CC?C?C;②组合数的两个性质:①nnnnn?1特别提醒:排列与组合的联系与区别.联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系.(2)典型例题考点一:排列问题例1.六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙不站右端.1P种1个,有【解析】:(1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选45P种站法,根据分步乘法计数原理,共个位置上作全排列有站法,然后其余5人在另外5551)种?PP480(有站法:542P种有5个人中选2个人站,方法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5424480?P(种)PP站法,然后中间4人有种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:45465PP2种站法,从总方法三:若对甲没有限制条件共有种站法,甲在两端共有5656)(种?2P?480P数中减去这两种情况的排列数,即共有站法:565P种人进行全排列有2()方法一:先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,和其余45252)种?240(PPP共有有种站法,根据分步乘法计数原理,乙进行全排列,站法,再把甲、2524P个空档中选出一个供甲、种站法,再在个人作全排列,有方法二:先把甲、乙以外的45424112)种(?PPPP240P种方法,最后让甲、乙全排列,有乙放入,有种方法,共有25452 2(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人24PP 种站个空档(含两端)中,有种站法;第二步再将甲、乙排在4人形成的5站队,有5424480P?(种)P法,故共有站法为546P)知甲、乙相邻有2种站法,由(此外,也可用“间接法”,6个人全排列有652652?720?240?480?240P(?P种PPP).种站法,所以不相邻的站法有226554P乙按条件插入站队,种,4个人作全排列,有然后将甲、(4)方法一:先将甲、乙以外的4242?(种)3PP(3P)?144.有站法种,故共有4222P种,乙之间的两个位置上,有方法二:先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、43P最后对甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有种方法,然后把甲、32322144P(种)PP?P.站法乙进行排列,有种方法,故共有24322P人在中间位置作)方法一:首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有4种,再让其他(5242448?P(种)PP.种,根据分步乘法计数原理,共有站法全排列,有4422P个位种站法,然后考虑中间方法二:首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有4242448?(种)PPP.置,由剩下的4人去站,有站法种站法,由分步乘法计数原理共有44255PP种,甲在左端而且乙在右端(6)方法一:甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有556544PPPP. =504的站法有+种,故甲不站左端、乙不站右端共有-2(种)站法56445P个位置之一,种站法,②甲在中间方法二:以元素甲分类可分为两类:①甲站右端有451141145PPPPPPP. 而乙又不在右端有=504种,故共有+(种)站法5444444组合问题:考点二例2. 男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)队长中至少有1人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员.32(种)CC?120.1【解析】:()选法为46 3(2)方法一:至少1名女运动员包括以下几种情况:1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 14233241(种)CC?CC?CC?CC?246.由分类计数原理可得总选法数为66664444方法二:因“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可用间接法求解.55CC.5人有种种选法,其中全是男运动员的选法有从10人中任选10655246??(种)CC.名女运动员”的选法所以“至少有1610(3)方法一:可分类求解:44CC;“男、女队长都入选”的选;“只有女队长”的选法为“只有男队长”的选法为88334CCC. ;所以共有2法为=196+(种)选法88855CC.种种选法.其中不选队长的方法有方法二:间接法:从10人中任选5人有10855CC.=196名队长”的选法为所以“至少1种-1084C种选法;(4)当有女队长时,其他人任意选,共有944CC种,共有而且其中不含女运动员的选法有种选法,不选女队长时,必选男队长,5844C?C. 种选法所以不选女队长时的选法共有58444191C)?C?(C?.所以既有队长又有女运动员的选法共有种598考点三:综合问题例3.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?(3)恰有2个盒不放球,共有几种放法?【解析】:(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步1212CCCP?144种;乘法计数原理,共有2443(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也就是说另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.2C)两类:2,2,个球放进个空盒有种方法;42个盒子可分成(31)、(23()确定42138?PCC第一类有序不均匀分组有种方法;214 422CC224?P?6种方法第二类有序均匀分组有. 22P222CC212232484?CP??P)C(C. 故共有种当堂测试女医生都有,要求其中男、名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,224412P21.从5名男医生、4 )则不同的组队方案共有(种 D.140 C.100 种 B.80A.70 种种212170?CCCC?种.【解析】:分为2男1女,和1男2女两大类,共有4554合理分类与准确分步的策略.解题策略:年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分20202.别从事司机、导游、翻译、礼仪四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其)(余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 D.36种 C.18种 A.48 种 B.12种人,人入选,先从两人中选1【解析】:合理分类,通过分析分为(1)小张和小赵恰有131124P?CC 种选然后把这个人在前两项工作中安排一个,最后剩余的三人进行全排列有32222?P种方法,然后在剩)小张和小赵都入选,首先安排这两个人做前两项工作有法.(2232113336PP?PP?6CC?故共有种选法.人做后两项工作,有种方法.余的3人中选2332322特殊元素优先安排的策略.:①.解题策略合理分类与准确分步的策略.②. 排列、组合混合问题先选后排的策略.③.这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位54,21,,3,3.从0,)数的个数为(D.162 C.180 A.48 B.121C种方法,)含有0,分步:①从另外两个偶数中选一个,有1【解析】:分为两大类:(22C百位上选,安排一个位置,只能在个、十、有③种方法;.给0.②从3个奇数中选两个,331PC种排法,根据乘法原理共有个数字进行全排列,有.其他的3有种方法;④3323121C?108CCCP种不2)不含0,分步:①偶数必然是2和4 ;②奇数有种方法.(3233342472?CPP种.根的排法有同的选法,③然后把4个元素全排列,共种排法,不含0 434108+72=180个据加法原理把两部分加一块得名女同学.若从甲、乙两组中各26名男同学,名女同学;乙组有甲组有4.5名男同学,3 ) 142选出名同学,则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有(5A.150种B.180种C.300种D.345种【解析】:4人中恰有1名女同学的情况分为两种,即这1名女同学或来自甲组,或来自乙112211CCC?CCC?345种选法.组,则所有不同的选法共有265356解题策略:合理分类与准确分步的策略.5.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A.6B.12C.30D.36【解析】:法一:甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类:⑴.甲、乙所选的课程中2门均不相同,甲先从4门中任选2门,乙选取剩下的2门,有22CC?6种.24⑵.甲、乙所选的课程中有且只有1门相同,分为2步:①从4门中先任选一门作为相同的14?C门,门中任选1乙从最后剩余的门中任选课程,有1门,2种选法,②甲从剩余的341111124C??6CCCC种.有种选法,由分步计数原理此时共有22433最后由分类计数原理,甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种.故选C.2236?CC种方法,然后再把两个人法二:可以先让甲、乙任意选择两门,有44门中任选两门有4全相同的情况去掉,两个人全相同,可以将甲与乙看成为同一个人,从22226?C30CC??C种不同的选法.种选法,所以至少有一门不相同的选法为4444解题策略:正难则反,等价转化的策略.6.用0 到9 这10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.328C.360D.6482111CCPC种不同的种不同的排法;第二类个位不是0,共【解析】:第一类个位是0,共89481211CCPC(个).解法.故共有=328+8498.解题策略:合理分类与准确分步的策略人入选,而丙没有入选的3人担任村长助理,则甲、乙至少有17.从10名大学毕业生中选)不同选法的总数为(D.28B.56 A.85C.492121CCCC种乙有一个被选中,有有甲、:【解析】合理分类,乙全被选中,甲、种选法,72272211CCCC=49种不同的选法.不同的选法,共+72721(解题策略:)合理分类与准确分步的策略2)特殊元素优先安排的策略;(. 68.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为()A.4 B.18 C.24D.302C种不同的分法,然后三组进行【解析】:将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有433PP种不同的排种不同的方法;最后再把甲、乙分到同一个班的情况排除掉,共全排列共33332PPC=30法.所以总的排法为种.-334注意:这里有一个分组的问题,即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题.解题策略:⑴.正难则反、等价转化的策略⑵.相邻问题捆绑处理的策略⑶.排列、组合混合问题先选后排的策略;解排列组合的应用题要注意以下几点:仔细审题,判断是排列还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步.深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加,要防止重复和遗漏,辩证思维,多角度分析,全面考虑.对限制条件较复杂的排列组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决.由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用不同的方法求解.看看结果是否相同,在对排列组合问题分类时,分类标准应统一,否则易出现遗漏和重复.7。

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