f ：A → B 或写为 f ：x → y = f ( x ) ,
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 集合与运算 §1.2 群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 §1.7 对称群 §1.8 置换群
§0 绪论
群论-群论基础-集合与运算
群论的发展历史 群论在数学中的作用 我们为什么要学习群1.1 集合与运算
抽象代数的基本概念
1 集合
集合：抽象代数研究的对象 集合的势
集合的乘积： 直积 内积
2 映射
群论-群论基础-集合与运算
定义：设 A 与 B 是两个集合，若有一种规则 f ，使得A的每 一个元素在 B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 就称为 A 到 B 的一个映射，记为
f ( xi ·xj ) = f ( xi ) ×f ( xj ) ——即像的乘积=乘积的像 则称 f 为 A到 B的同态，记为 A ~ B
群论-群论基础-集合与运算
同态映射若是一一映射 → 同构：A=B
同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号 数学上，同构即是同一
→1:1
例如：G = { e= a4, a, a2, a3 } → G' = { 1, i, -1, -i } 物理上，同构的集合有分别：
G = { e, c2} 和 G' = {e, ci }
f f -1 = f -1f = e
3 二元运算
群论-群论基础-集合与运算
定义：若对 A 上的每一对有序元(a, b ) ，在 A 上有唯一确定的 c 与之对应，即有一规则 R 使得 A×A → A，则 R 称为 A上的一 个二元运算，记为 R：A×A → A， 或 R：(a, b ) → c = R(a, b ) 一般记为c = a·b，或c = ab 。