山西省重点中学 2018届高三3月月考 数学（理）试题(考试时间：120分钟)一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 若复数(5sin 3)(5cos 4)z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为（ ） A ．43 B ．34- C ．34 D ．3344-或2．对于集合N M ,，定义：且，，设A ＝，{})(log 2x y x B -==，则=（ ） A ．（，0] B ． [，0)C ．D ．3．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于（ ） A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 4．设甲：函数)(log )(22c bx x x f ++=的值域为R ，乙：函数c bx x x g ++=2)(有四个单调区间，那么甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．规定记号“⊗”表示一种运算，即：222b ab a b a -+=⊗，设函数2)(⊗=x x f 。
且关于x 的方程为()lg 2(2)f x x x =+≠-恰有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的值是（ ）A ．4-B ． 4C ．8D ．8-6. 已知1F 和2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1||OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）1C. 2D.1 7．若当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=-是（ ）M x x N M ∈=-|{}N x ∉)()(M N N M N M --=⊕ ),3|{2R x x x y y ∈-=B A ⊕49-49-),0[)49,(+∞--∞ ),0()49,(+∞--∞1 A．奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B．偶函数且图像关于点(,0)π对称C．奇函数且图像关于直线2xπ=对称 D．偶函数且图像关于点(,0)2π对称8．过点(11,2)A作圆22241640x y x y++--=的弦，其中弦长为整数的共有（）A.16条B. 17条C. 32条D. 34条9．在平面斜坐标系xoy中045=∠xoy，点P的斜坐标定义为：“若201eyex+=（其中21,ee分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的坐标为),(yx”．若),0,1(),0,1(21FF-且动点),(yxM满足12MF MF=，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为（）A．0x=B．0x= C0y-= D0y+=10．已知)(xf为R上的可导函数，且Rx∈∀，均有)()(xfxf'>，则有（）A．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f-<>B．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f-<<C．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f->>D．20132013(2013)(0),(2013)(0)e f f f e f-><11．设O是锐角三角形ABC 的外心，由O向边ABCABC,,引垂线，垂足分别是FED,,,给出下列命题：①0OA OB OC++=；②OD OE OF++=；③||OD：||OE：||OF=Acos：Bcos：Ccos;④Rλ∃∈，使得+=λ. 以上命题正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4；12．在正方体1111ABCD A B C D-中，E是棱1CC的中点，F是侧面11BCC B内的动点，且1//A F平面1D AE，则1A F与平面11BCC B所成角的正切值构成的集合是（）A．t⎧⎪≤≤⎨⎪⎩⎭B．2t t⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭C．{2t t≤≤ D．{2t t≤≤二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知不等式组2y xy xx≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域为M，直线y x=与曲线212y x=所围成的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为 .14．对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则, 若的分解中最小的数是73，则的值为 .15．抛物线28x y =的准线与y 轴交于点A ，点B 在抛物线对称轴上，过A 可作直线交抛物线于点M 、N ，使得MN 21=⋅，则的取值范围是 ．16. 给出以下四个命题：① 若cos cos 1αβ=，则sin()0αβ+=；② 已知直线x m =与函数()sin ,()sin()2f x xg x x π==-的图像分别交于点N M ,，则||MN③ 若数列2()n a n n n N λ+=+∈为单调递增数列，则λ取值范围是2λ<-； ④ 已知数列{}n a 的通项3211n a n =-，前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为12．其中正确命题的序号为 ． 三、解答题： 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程220,()n n x x b n N *-+=∈的两根，且11a =.（Ⅰ）求证：数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）设函数()= ()n n f n b t S *-⋅∈ n N 若()>0f n 对任意的n N *∈都成立，求t 的取值范围。
18．（本小题满分12分）2018年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的242m n 2213=+23135=++241357=+++3235=+337911=++3413151719=+++2513579=++++3*()m m N ∈mD B C O P（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E ．19． （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，为正三角形，，，AC 与BD 交于O 点．将ACD ∆沿边AC 折起，使D 点至P 点，已知PO 与平面ABCD 所成的角为θ，且P 点在平面ABCD 内的射影落在ACD ∆内．（Ⅰ）求证：平面PBD ； （Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.20．（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为21，一个焦点 和抛物线x y 42-=的焦点重合,过直线4:=x l 上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是B A ,.（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）若在椭圆()012222>>=+b a by a x 上的点()00,y x 处的椭圆的切线方程是12020=+byy a x x . 求证:直线AB 恒过定点C ；并出求定点C 的坐标. （Ⅲ）是否存在实数λ，使得BC AC BC AC ⋅=+λ恒成立？(点C 为直线BCD ∆2==AB AD 32=BD ⊥AC D PB A --721θAB 恒过的定点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。
,其中错误！未找到引用源。
.（I ）若函数错误！未找到引用源。
在区间(1,2)上不是单调函数,试求错误！未找到引用源。
的取值范围;（II ）已知错误！未找到引用源。
,如果存在错误！未找到引用源。
,使得函数错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
在错误！未找到引用源。
处取得最小值,试求错误！未找到引用源。
的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答。
若多做，则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线1C 上的点)23,1(M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点)3,1(πD ．（I ）求曲线1C ，2C 的方程；（II ）若点),(1θρA ，)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值．23. 已知函数1)(-=x x f(I)求不等式01)(2>-+x x f 的解集;(II)设m x x g ++-=3)(，若关于x 的不等式)()(x g x f <的解集非空，求实数m 的取值范围.参考答案1. B 2．C 3．C 4．B 5．D 6. D 7．C 8．C 9．D 10．D 11．B 12．D 13．16（文）133614． 9 15．(6,)+∞ 16.①② 17．【解】：（1）n n n a a 21=++ )231(23111n n n n a a ⋅--=⋅-∴++，即123123111-=⋅-⋅-++n n n n a a123n n a ⎧⎫∴-⋅⎨⎬⎩⎭是等比数列 1211,1[2(1)]333n n n a q a ∴-==-∴=--（3分）（2）n n a a a S +++= 2122111112(12)(1)(1(1))[(222)((1)(1)(1))][]3312112211(1)33[22]322133n n nnn n n n n n +++----=+++--+-++-=--+⎧-⎪-+-⎪=--=⎨⎪-⎪⎩偶奇（6分） （3）1+⋅=n n n a a b ∴112111[2(1)][2(1)][2(2)1]>099n n n n n n n n n b b t s +++=----=----21111(1)1[2(2)1][22]0932n n nn t ++--∴----⋅--> ∴当n 为奇数时21111[221](21)0(21)<1933n n n n n t t t +++--->∴<+∀∈∴对奇数都成立 （9分） 当n 为偶数时211211112[221](22)0[221](21)0939313(21)62n n n n n n n n t tt t ++++---->∴----><+∀∈∴<对偶数都成立综上所述，t 的取值范围为()1,∞- （12分）18．【解】：（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． ………4分（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．因为40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． …………………………………………8分（3）记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则9()10P A =. 随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且9(2,)10B ξ. 所以2299()()(1)(0,1,2)k k k P k C k ξ-==-=， 所以变量ξ的分布列为012 1.8100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=（天）,或2 1.810E nP ξ==⨯=（天） ……12分（II ）10563421055312662=+=⨯+⨯（人） …………8分（III ）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法； 其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为.158 …………12分 19．【解析】：（1）证明：由面， 所以 又 所以-----4分（2）取中点，连结 则，且，所以是平行四边形， 所以，且 所以面;----8分 （3）SD ⊥SAB AB SAB ⊂面SD AB ⊥//AB CD CD SD ⊥SA N ,ND NM //NM AB 12MN AB DC ==//AB CD NMCD //ND MC ,ND SAD MC SAD ⊂⊄面面//CM SAD ::3:2S ABCD S ABD ABCD ABD V V S S --∆∆==DB CO P过作，交于，由题得在中， 所以，所以-------12分 （理）【解析】：(Ⅰ)易知为的中点，则，又，又，平面， 所以平面 （4分）(Ⅱ)方法一：以为轴，为轴，过垂直于平面向上的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则, （6分）易知平面的法向量为 （7分），设平面的法向量为则由得， 解得，，令，则 （9分） 则 解得，，即， 又，∴ 故.（12分）20．【解】：（I ）设椭圆方程为()012222>>=+b a by a x 。