dw σxdεx σydεy σzdεz 2(τ xydεij τ yzdεyz τzxdεzx )
dw σij dεij
2-7
4.1.1 应变能的概念
由于塑性变形时体积不变，球应力不作功，则：
dw p
(
ij
ij m )d ij
ijd ij m ijd ij
dw p ijd ij
d 2
3
外力功为：
(dh d )2 (d dr )2 (dr d )2
r 2dr
0
r
2 f dH R3
3H
2 - 16
例题
载荷功为：
WF PdH
根据功平衡：
H
PdH
s R2dH
2
3
f
dH H
R3
所需变形力为：
P
(
s
R2
2 3
f
R3 )
H
04:05:54
P
2R
z
f
r o
2 - 17
例题
04:05:54
例2 将直径为D的坯料挤压成直径为d的线材，假设接触面光 滑，材料屈服应力为 s 。求挤压力。
Nuaa-MEE
第四章
塑性成形问题的其他解法
第 16 讲
第四章 塑性成形问题的其他解法
04:05:54
教 1 掌握变形功法和塑性材料力学法的基本思路； 学 目 标 2 熟练运用变形功法和材料力学法分析问题;
2-2
第四章 塑性成形问题的其他解法
04:05:54
4.1 变形功法;
主 要 内 4.2 塑性材料力学法; 容
dh
dh h
按照体积不变条件可以求得周向应变：
d[(R2 r 2 )h] 2rhdr (R2 r 2 )dh
Hale Waihona Puke 0dr ( R2 r 2 )dh
2rh
径向应变为: 周向应变为:
dr
dr r
(R2
r 2 )dh 2h
d dh dr
04:05:54
2 - 21
例题
04:05:54
等效应变为:
WF W f W
2 - 10
4.1.2 变形功法（功平衡原理）
04:05:54
a) 塑性变形功增量
dw
ij
dε
ij
dv
3 2
d
ij ijdv
d ij
3 2
d
' ij
' ' ij ij
2
3
2
dw d dv
根据密席斯屈服条件，塑性变形时 s ，
故整个变形体(体积为V)所消耗的塑性变形功增量：
解：
设在坯料挤压dH时，成品有dh的伸长，
则：
d z
ln
h H
dr
d
1 ln 2
h H
d ln h
H
D H d h
2 - 18
例题
04:05:54
W
d dv
v
sd V
s
ln( h )
H4
D2H
WF PH
P
s
ln(
h H
)
4
D2
D2H d2h
4
4
P
2
s
D2
ln(
D d
)
h ( D )2 Hd
2 - 19
例题
04:05:54
练习：在例二中，如果不是挤压而是拉拔变形，试计算变形力。
练习：在封闭模具里挤压环状件，外径
为 2R0 ，瞬时内径为 2r , 高度为 h 。设接触面光滑无摩擦，材料为
刚塑性体，屈服强度为 s 。试计算
在图示瞬间所需的变形力。
2 - 20
例题
解：先设高度上微小量 dh , 相应轴向应变为:
W dw ( d )dv
s
d
V
dv
2 - 11
4.1.2 变形功法（功平衡原理）
b) 摩擦所消耗的功增量
04:05:54
Wf S duf dS
—接触面S上的摩擦应力； duf— 方向上的位移增量.
在塑性成形时，由于摩擦的影响，变形总是不均匀的， 因而很难确定应变增量。因此需要作变形均匀的假设，这种 基于均匀变形假设的变形功法又称为均匀变形功法。
2 - 12
例题
04:05:54
1、 刚塑性圆柱体变形瞬间高为 H ，半径为 R ，接触面摩擦
力为 f , 屈服强度为 s 。求变形力。
解：
P
设在载荷作用下产生
2R
微小压下量dH，则：
z
f
dH
d H
dH H
r
H
o
2 - 13
例题
由变形过程中体积不变条件：
r2 H cont.
当高度变化dH时，r 处位移为du , 则：
W
s
v
d dv
s
(
dH H
)V
s
(
dH H
)
R
2
H
s R2dH
2 - 15
例题
04:05:54
摩擦功：在半径为r、宽度为 dr 的环状区的摩擦功为：
f
dw f 2 f (2 rdr) du
du 1 dH r 2H
2 f dH r 2dr
H
积分得总的摩擦功：
dr
W f
2
f
dH H
R
2-5
4.1.1 应变能的概念
04:05:54
a) 塑性应变能
假使微元体在正应力分量x作用下在x方向产生的应变增量为dx。
正应力分量x在x方向产生所消耗的塑性功增量为:
(dw )x xdydz dxdεx
则单位体积所作的塑性功增量为:
(dw )x ( xdydz dxdεx ) / dv
(dw )x σxdεx
σx
dε x dx
2-6
4.1.1 应变能的概念
04:05:54
同理，剪应力分量 xy 所作的单位功增量为：
(dw )zx (τzxdydx dzd ) / dv τzxd
dz d
zx
(dw )zx 2τzxdεzx
d
复杂状态下刚塑性体单位体积的塑性应变能为：
而整个变形体的塑性功增量为：
wp V ijdεijdv
04:05:54
2-8
4.1.1 应变能的概念
b) 弹性应变能
在线弹性情况下，单元体的弹性能
We
1 2
ij
ij
dxdydz
04:05:54
wp
we
ε
2-9
4.1.2 变形功法（功平衡原理）
04:05:54
刚塑性体在变形过程的某瞬间，外力(载荷 P 和表面 摩擦力 f )所作的功增量 (载荷所作的功 ΔWF 和摩擦功 ΔWf )等于内力(应力) 所作的功增量 ΔW,即：
4.3 上限法；
2-3
04:05:54
§4.1 塑性成形的变形功 (功平衡)法
目标：
1）掌握应变能的概念 2）熟练掌握变形功基本思路与方法
2-4
4.1.1 应变能的概念
04:05:54
物体发生塑性变形时，外力所作的变形功一部分变成 弹性应变能增量贮存在物体内部，部分变成塑性应变能 增量耗散掉。
通常把与应力在塑性应变增量上所作的功相对应的那 部分塑性应变能，称为耗散能或消耗能。
d(r2H ) 2rH dr r2 dH 0
dr 1 dH r 2H
dr
1 2
dH H
dH
H
d H
dH H
d
1 2
dH H
04:05:54
P 2R
z
f
r o
2 - 14
例题
04:05:54
d 2
3
(dr d )2 (d d z )2 (d z dr )2
dH H
应变能增量：