《因式分解》全章复习与巩固（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；
3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项
的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
要点三、公式法
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
()()22a b a b a b -=+-
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2
222a ab b a b -+=-.
形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号
相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差
的积.
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和
加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平
方.
（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，
也可以是单项式或多项式.
要点四、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b
=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点五、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
1、（2014春•常州期中）6a （b ﹣1）2﹣2（1﹣b ）2．
【思路点拨】直接提取公因式2（b ﹣1）2进而得出答案．
【答案与解析】
解：6a （b ﹣1）2﹣2（1﹣b ）2=2（b ﹣1）2（3a ﹣1）．
【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，注意（b ﹣1）2=（1﹣b ）2．
类型二、公式法分解因式
2、已知2x －3＝0，求代数式()()2259x x x x x -+--的值．
【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．
【答案与解析】
解：()()2259x x x x x -+--，
＝322359x x x x -+--，
＝249x -．
当2x －3＝0时，原式＝()()2492323x x x -=+-＝0．
【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．
举一反三：
【变式】()()33a y a y -+是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）
A ．229a y +
B ．229a y -+
C ．229a y -
D ．229a y --
【答案】C ；
3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如()()()4422x y x y x y x y -=-++，当x ＝9，y ＝9时，x y -＝0，x y +＝18，22x y +＝162，则密码018162．对于多项式324x xy -，取x ＝10，y ＝10，用上述方法产生密码是什么？
【思路点拨】首先将多项式324x xy -进行因式分解，得到
()()32422x xy x x y x y -=+-，然后把x ＝10，y ＝10代入，分别计算出()2x y +及()2x y -的值，从而得出密码．
【答案与解析】
解：()()()32224422x xy x x y x x y x y -=-=+-，
当x ＝10，y ＝10时，
x ＝10，2x ＋y ＝30，2x －y ＝10，
故密码为103010或101030或301010．
【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂密码产生的方法是关键．
举一反三：
【变式】利用因式分解计算
（1）16.9×18＋15.1×18
（2） 22683317- 【答案】
解：（1）16.9×18＋15.1×18
＝()116.915.18
⨯+ ＝13248
⨯= （2）22683317-
＝()()683317683317+⨯-
＝1000×366
＝366000．
4、因式分解：
（1）()()2
69a b a b ++++；
（2）222xy x y ---
（3）()()22224222x xy y x xy y -+-+． 【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法：()2222a b a ab b ±=±+．
【答案与解析】
解：（1）()()()22
693a b a b a b ++++=++
（2）()()2222222xy x y xy x y x y ---=-++=-+ （3）()()2
2224222x xy y x xy y -+-+ ＝()()24
222x xy y x y -+=- 【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全．
举一反三：
【变式】（2015春•禅城区校级期末）分解因式：
（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2
（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1．
【答案】解：（1）（a 2+b 2）2﹣4a 2b 2
=（a 2+b 2+2ab ）（a 2+b 2﹣2ab ）
=（a+b ）2（a ﹣b ）2；
（2）（x 2﹣2xy+y 2）+（﹣2x+2y ）+1
=（x ﹣y ）2﹣2（x ﹣y ）+1
=（x ﹣y ﹣1）2．
5、先阅读，再分解因式：
()2
4422224444(2)2x x x x x x +=++-=+-()()222222x x x x =-+++，按照这种方法把多项式464x +分解因式．
【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．
【答案与解析】
解：442264166416x x x x +=++-
＝()2
22816x x +- ＝()()228484x x x x +++-．
【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题目信息是解题的关键．
类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式
6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形
的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系．。