解析式为y=x2+1，x＜1
函数的解析式为
{
y=x2+1，x＜1 y=(x-2)2+1，x≥1
f（x）的图象如图，则f（x）=
3 y x 3 当x∈[-2,0)时， 2 2 当x∈[0,3]时，y 3 x 2 3 x 3, x [-2,0) ∴f(x)= 2 - x , x [0,3] 3
已知函数模型（如：一次函数，二 次函数，等）求解析式，首先设出 函数解析式，根据已知条件代入求 系数
例2 已知f(x)是二次函数，且
f ( x 1) f ( x 1) 2x 4x 4 求 f ( x ). 解： 设f ( x) ax2 bx c ( a 0)
2
的解析式
1）f（x+1）=x-3
2）
f ( x 1) x 2 x x 2 x 11 ( x 1)2 1
=x+1-4 ∴f（x）=x-4
∴f（x）=)）,求f(x)的解析式，一般的 可用换元法，具体为：令t=g(x),在求 出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要 确定新元t的取值范围。
2 解得 f ( x ) x x
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
解:令x=-x,则3f（-x）+f（x）=2+x
3 f ( x ) f ( x ) 2 x 联立方程组，得： 3 f ( x ) f ( x ) 2 x
1 1 解得： f x x 2 2
求函数的解析式
一.配凑法
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析 式的右端整理成只含有g(x)的形式，再 把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公 式。
2 f ( x 1 ) x 2 x 2 ，求 已知
f (3)及f x , f x 3
解：
f ( x 1) x 2 2 x 2
f ( x 1) x 2 x 2 ，求f(x)及f(x+3)
2
令
t x 1, 则x t 1
2 2
f t f x 1 t 1 2 t 1 2 t 1
f x x 1 2 2 y f x 3 ( x 3) 1 x 6x 10
f ( x) x x 1
2
练习：已知函数 f ( x) 对于一切实数 x, y 都有
f ( x y) f ( y) ( x 2 y 1) x 成立，且 f (1) 0
1.求 f (0) 的值
2.求f ( x)的解析式 .
令x=1，y=0得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1) ×1 即0-f(0)=2解得f(0)=-2 令y=0得f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1) x 即f(x)-(-2)=x(x+1) 解得f(x)=x2+x-2
∴f（x）=3x+b
四.方程组法
求抽象函数的解析式，往往通过变 换变量构造一个方程，组成方程组 ，利用消元法求f（x）的解析式
例3.设f(x)满足关系式 求函数的解析式
1 f x 2 f 3x x
1 1 1 解:令 x x f ( x ) 2 f ( x ) 3 x 1 f ( x) 2 f ( x ) 3 x 联立方程，得： 1 3 f ( ) 2 f ( x) x x
六.根据图象写出解析式
观察图像的特点和特殊点，可用代入 法，或根据函数图像的性质进行解题。 注意定义域的变化。
如下图，函数图象是两 个部分抛物线构成，求解：当x ≥ 1时，函数图象是对称 轴为x=2，顶点坐标为（2,1）的 函数的解析式 图象
解析式为y=(x-2)2+1，x≥1 当x＜1时，函数图象为是对称轴 x=0，顶点坐标为（0,1）的图象
f ( x 1) f ( x 1) 2ax 2bx 2a 2c 2 2x 4x 4
2
a 1, b 2, c 1
f ( x) x 2 x 1
2
练习：1. 若f ( f ( x)) 4 x 1, 求一次函数f ( x)的解析式
设：f（x）=ax+b， 则f（f（x))=a(ax+b)+b =a2x+ab+b=4x-1
2
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的 取值范围
已知f ( x 1) x 3 x 2, 求f ( x)
2
令t=x+1，则x=t-1 ∴f（t）=f（x+1）=(t-1)2-3（t-1）+2 =t2-2t+1-3t+3+2 =t2-5t+6
∴f(x)=x2-5x+6
三.待定系数法
∴a2=4,ab+b=-1
∴a=2,b= 或a=-2，b=1
1 3 1 3
f（x）=2x- 或f（x）=-2x+1
2.已知函数 f ( x) 是一次函数，且经过(1，2)， （2，5）求函数 y f ( x) 的解析式
设f（x）=ax+b，
由题知：f（1）=2，f（2）=5
即a+b=2,2a+b=5 ∴a=3，b=-1
x 2x 1 1 ( x 1) 2 1
2
f ( x) x 1
2
f 3 10
2 2
y f x 3 ( x 3) 1 x 6x 10
练习：1.已知f(x+1)=x-3, 求f(x)
2.若 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x)
五.赋值法
一般的，已知一个关于x,y的抽象函数 ，利用特殊值去掉一个未知数y，得 出关于x的解析式。
已知定义在R上的函数f(x)，对任意 2 f ( x y) f ( x) 2 xy y y 实数x,y满足：
且f (0) 1， 求 f
( x ).
解： 令x y得
f (0) f ( x) 2 x 2 x 2 x