例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a a+0=a
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 4个面的面积S1，S2，S3和S
3个“直角面” S1，S2，S3 和1个“斜面” S
合情推理
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或 一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质， 从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较 联想、类推 猜想新结论
例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合.
单位元
通过例1，例2你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a’,b’,c’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d .
’
类比推理举例
构成几何体的元素数目：四面体
三角形
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想．
§1归纳与类比
1.2类比推理
复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提 出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba&1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
火星上是否有生命？
火星
地球
相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部 分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。 地球上有生命 猜想 火星上可能有生命
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些
已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类
比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 的老师」 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 比问题.”
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.